경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #16

학년 6 geometry-2dalgebra

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

perimeterarea-trianglesratio-proportionpythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebraratio-proportion ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각삼각형 ABC 가 있고, 직각은 꼭짓점 A 에 있으며 두 변 AC = 3, AB = 4, 빗변 BC = 5 입니다. 빗변 BC 위에 점 D 를 잡되 두 작은 삼각형 △ ACD 와 △ ABD 의 둘레가 같아지도록 합니다. 이때 △ ABD 의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{4}$

(B)

$\frac{3}{2}$

(C)

(D)

$\frac{12}{5}$

(E)

$\frac{5}{2}$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"△ ABD 의 넓이" 라는 큰 질문은 세 개의 작은 질문으로 깔끔하게 쪼개집니다 (도구 #7): (가) D 가 BC 위 어디에 있는가? (나) 전체 직각삼각형 △ ABC 의 넓이는? (다) 그 넓이의 몇 분의 몇이 △ ABD 의 몫인가? 도구 #1(그림 그리기)은 (가)를 받쳐 줍니다 — 주어진 도형 위에 BD, CD 라벨을 붙이면 공통 변 AD 가 두 둘레에서 약분된다는 사실이 한눈에 보여서, 둘레 조건이 BD 와 CD 만의 간단한 식으로 바뀝니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 "두 조각의 합이 5, 차이가 1" 인 상황을 정식 대수 없이 바로 해결해 줍니다 — 초등 학습자에게 가장 자연스러운 길입니다.

1STEP 1

그림에 길이 표시하기

도형을 그리고 BC 위에 D 를 찍어 조각 BD, CD 를 표시합니다. 두 작은 삼각형이 공통 변 AD 를 공유함에 주목하세요.

BD + CD = 5

2STEP 2

두 둘레 비교하기

두 둘레식에서 공통 변 AD 가 약분되어 AC + CD = AB + BD, 즉 3 + CD = 4 + BD, 따라서 CD = BD + 1.

AC + CD + AD = AB + BD + AD → 3 + CD = 4 + BD → CD - BD = 1

3STEP 3

BD와 CD 구하기

BD + CD = 5와 CD = BD + 1로 추측·확인하면 BD = 2, CD = 3 이 2 + 3 = 5, 차이 1을 모두 만족합니다.

BD = 2, CD = 3

4STEP 4

큰 삼각형 넓이 구하기

큰 직각삼각형은 직각을 이루는 두 변이 밑변·높이이므로 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 4 · 3 = 6 입니다.

넓이(△ ABC) = 1/2 · AB · AC = 1/2 · 4 · 3 = 6

5STEP 5

높이가 같은 비 이용하기

△ ABD 와 △ ABC 는 A 에서 내린 높이를 공유하므로 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다: BD : BC = 2 : 5.

(넓이(△ ABD))/(넓이(△ ABC)) = BD/BC = 2/5

6STEP 6

넓이에서 그 비만큼 구하기

곱셈으로 넓이(△ ABD) = $\frac{2}{5}$ · 6 = $\frac{12}{5}$ , 선택지 (D)입니다.

넓이(△ ABD) = 2/5 · 6 = 12/5 → (D)

정답

12/5

답의 크기를 가늠해 봅시다. 전체 직각삼각형의 넓이는 6이고 BD = 2는 BC = 5의 절반보다 작으므로 △ ABD 의 넓이도 전체의 절반 3 보다 작아야 합니다. 우리가 구한

\frac{12}{5}

= 2.4는 3 보다 작으면서도 정확히 전체의

\frac{2}{5}

입니다. 게다가

\frac{12}{5}

+ 넓이(△ ACD) = 6 이므로 넓이(△ ACD) =

\frac{18}{5}

, 두 넓이의 비

\frac{12}{5}

\frac{18}{5}

= 2 : 3 = BD : CD 로 공통 높이 논증과 정확히 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 비" 라는 비율 추론만 알면 풀 수 있어요!

그림에 길이 표시하기
두 둘레 비교하기
BD와 CD 구하기
큰 삼각형 넓이 구하기
높이가 같은 비 이용하기
넓이에서 그 비만큼 구하기

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