AMC 8 · 2017 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-triangles area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

오목한(비볼록) 사각형 ABCD 에서 꼭짓점 C 가 직각이라 ∠ BCD = 90° 이고, 두 직각변은 BC = 4, CD = 3 입니다. 나머지 두 변은 AB = 12, AD = 13. 그림을 보면 C 가 안쪽으로 움푹 들어가 있어서 사각형 ABCD 는 큰 삼각형 △ ABD 에서 작은 삼각형 △ BCD 를 도려낸 모양입니다. 사각형 ABCD 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

오목한 사각형이라 한눈에 넓이가 보이진 않지만, 대각선 BD 하나만 그으면 익숙한 두 직각삼각형으로 깔끔하게 갈라집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (a) △ BCD 의 넓이, (b) 대각선 BD 의 길이, (c) △ ABD 의 넓이 세 조각으로 나눠 푼 뒤 마지막에 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 천생연분 — 대각선 BD 를 그어 보면 3-4-5 삼조와 5-12-13 삼조가 한눈에 드러나서 이게 바로 지름길의 핵심입니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 개 선택지와 대조해 즉석 검산까지 해 줍니다.

1STEP 1

대각선 BD 를 그으면 ABCD 가 안쪽 △ BCD 와 바깥 △ ABD 로 갈라져, 넓이는 (△ ABD) - (△ BCD).

넓이(ABCD) = 넓이(△ ABD) - 넓이(△ BCD)

2STEP 2

C 의 직각 덕분에 직각변 BC, CD 가 밑변·높이라서 넓이(△ BCD) = ½·4·3 = 6.

넓이(△ BCD) =

\frac{1}{2}

· BC · CD =

\frac{1}{2}

· 4 · 3 = 6

3STEP 3

△ BCD 에서 피타고라스로 대각선 BD = √(3²+4²) = 5 — 친숙한 3-4-5 삼조.

BD = √(BC² + CD²) = √(4² + 3²) = √(25) = 5

4STEP 4

△ ABD (변 12, 5, 13) 확인: 12² + 5² = 169 = 13² 이므로 피타고라스의 역으로 ∠ ABD 가 직각.

12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓

5STEP 5

직각이 B 에 있으니 직각변 AB = 12, BD = 5 로 넓이(△ ABD) = ½·12·5 = 30.

넓이(△ ABD) =

\frac{1}{2}

· AB · BD =

\frac{1}{2}

· 12 · 5 = 30

6STEP 6

빼면 넓이(ABCD) = 30 - 6 = 24, 선택지 (B). 함정 30 은 도려낸 부분을 뺀 걸 깜빡한 답.

넓이(ABCD) = 30 - 6 = 24 → (B)

정답

감각적으로 점검해 봅시다. △ ABD 의 넓이가 30, △ BCD 의 넓이가 6 이므로, 답은 반드시 30 - 6 = 24 (C 가 안으로 움푹 들어간 경우) 와 30 + 6 = 36 (C 가 바깥으로 튀어나온 경우) 사이의 두 값 중 하나여야 합니다. 그림이 비볼록이라고 못 박았으니 "빼기" 쪽인 24 가 답입니다. 함정 답 (D) = 30 은 C 가 내부에 있다는 사실을 잊은 경우, (E) = 36 은 볼록한 경우의 답입니다. 결국 그림과 계산이 둘 다 가리키는 숫자는 24 하나뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리(와 그 역)만 알면 풀 수 있어요 — 3-4-5 와 5-12-13 두 직각삼각형만 발견하면 마지막엔 뺄셈 한 번이 끝입니다!

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