AMC 8 · 2017 · #19

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

factorialprime-factorizationexponentsfactors identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: factorialprime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

M! = 1 · 2 · 3 … M 으로 정의되는 팩토리얼을 떠올립시다. 5ⁿ 이 98! + 99! + 100! 의 약수가 되도록 하는 가장 큰 정수 n 을 구해야 합니다. 즉, 이 합을 소인수분해했을 때 소수 5 가 몇 번 등장하는지를 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심입니다. 98! + 99! + 100! 에는 공통 인수 98! 이 들어 있으니, 이를 묶어내면 문제가 두 개의 독립된 세기 문제로 깔끔하게 갈라집니다 — "98! 안에 5 가 몇 개인가?" 와 "괄호 안에 남은 수에 5 가 몇 개인가?". 첫 번째 부분은 도구 #5(패턴 찾기)로 처리합니다 — 5 의 배수마다 5 가 하나씩, 25 의 배수마다 하나씩 더, … 깔끔하게 반복되는 규칙입니다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 개 선택지와 대조해 답을 확정합니다.

1STEP 1

가장 작은 팩토리얼 98! 을 세 항에서 공통으로 묶어내면, 합이 98! × (작은 수) 형태가 됩니다.

98! + 99! + 100! = 98! (1 + 99 + 100 · 99)

2STEP 2

괄호를 정리하면 100 · 99 = 9900, 1 + 99 + 9900 = 10000 이므로 합은 98! × 10000 으로 줄어듭니다.

1 + 99 + 100 · 99 = 1 + 99 + 9900 = 10000

3STEP 3

10000 = 10⁴ = (2 · 5)⁴ = 2⁴ · 5⁴ 이므로 5 가 정확히 네 개 들어 있습니다.

10000 = 10⁴ = (2 · 5)⁴ = 2⁴ · 5⁴

4STEP 4

1…98 중 5 의 배수마다 5 하나, 25 의 배수마다 하나 더: ⌊ $\frac{98}{5}$ ⌋ + ⌊ $\frac{98}{25}$ ⌋ = 19 + 3 = 22 개.

98 이하의 5 의 배수: ⌊

\frac{98}{5}

⌋ = 19; 25 의 배수: ⌊

\frac{98}{25}

⌋ = 3; 합계 = 19 + 3 = 22

5STEP 5

곱이므로 지수가 더해져 두 개수를 합칩니다: 22 + 4 = 26, 즉 n = 26 → (D).

n = 22 + 4 = 26 → (D)

정답

답 26 은 자연스러운 상한·하한 사이에 정확히 들어갑니다. 하한: 98! 자체에 이미 5 가 22 개 들어 있고, 합은 98! 의 배수이므로 적어도 22 — 따라서 22 미만 답은 모두 탈락. 상한: 괄호의 결과 10000 = 2⁴ · 5⁴ 가 5 를 정확히 네 개 더 보태고, 그 외에 새로 5 를 만드는 부분은 없으므로 총 개수는 22 + 4 = 26 에서 멈춥니다. 답 26 은 정확히 이 상한값과 일치하고, (D) 와 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 지수와 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 인수를 묶어내고, 각 조각에서 5 가 몇 개인지 세기만 하면 돼요!

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