AMC 8 · 2017 · #21

학년 7 algebralogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

paritylogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

0 이 아닌 세 실수 a, b, c 가 a+b+c=0 을 만족할 때, 식 a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc| 이 가질 수 있는 모든 값을 구하는 문제입니다. 각 항 x/|x| 는 결국 x 의 부호(+1 또는 -1)이므로, 전체 식은 ± 1 네 개의 합이며, 그 값은 조건 a+b+c=0 하에서 a, b, c 의 부호가 어떤 조합으로 나오는지에 따라 정해집니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$1\text{ and }-1$

(C)

$2\text{ and }-2$

(D)

$0,2,\text{ and }-2$

(E)

$0,1,\text{ and }-1$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

겉보기엔 복잡해 보이는 식도, 0 이 아닌 x 에 대해 x/|x|=? 라는 더 쉬운 보조 문제(도구 #9)를 먼저 풀면 단번에 정리됩니다 — 각 항은 그저 +1 또는 -1 의 부호일 뿐입니다. 그 다음 (a,b,c) 의 부호 조합은 2³=8 가지뿐이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 적어 놓고, 조건 a+b+c=0 을 이용해 모두 양수·모두 음수인 경우를 도구 #3(가능성 지우기)으로 걸러냅니다. 남는 두 가족(family)만 대칭성에 따라 한 번씩 계산하면 끝납니다.

1STEP 1

쉬운 항 x/|x| 는 x 가 양수면 +1, 음수면 -1 — 모든 항이 결국 +1 또는 -1 인 부호입니다.

x/|x|= +1 & (x ＞ 0) ; -1 & (x ＜ 0)

2STEP 2

(a,b,c) 의 부호 조합 8 가지를 음수 개수 순으로 적어 두고, 조건 a+b+c=0 으로 걸러 냅니다.

(+,+,+), (+,+,-), (+,-,+), (-,+,+), (+,-,-), (-,+,-), (-,-,+), (-,-,-)

3STEP 3

모두 양수면 합이 너무 크고 모두 음수면 너무 작아 둘 다 불가능 — 음수는 정확히 1 또는 2 개만 남습니다.

허용: a, b, c 중 음수의 개수가 정확히 1 또는 2

4STEP 4

가족 1(양수 2, 음수 1): 세 부호는 1+1-1=1, abc 는 음수라 항은 -1 — 합 0.

(+1)+(+1)+(-1)=1 + abc/|abc|=-1 = 0

5STEP 5

가족 2(양수 1, 음수 2): 부호는 1-1-1=-1, abc 는 양수라 +1 — 합은 또 0. 답은 (A).

(+1)+(-1)+(-1)=-1 + abc/|abc|=+1 = 0 → (A)

정답

가족 1 구체 검증: a=1, b=1, c=-2 (합 0) 로 두면 식 =1+1+(-1)+-

\frac{2}{2}

=1+1-1-1=0. 가족 2 구체 검증: a=2, b=-1, c=-1 (합 0) 로 두면 식 =1+(-1)+(-1)+

\frac{2}{2}

=1-1-1+1=0. 두 경우 모두 0 이 나와 (A) 와 일치합니다. 본질적인 이유는, 가족 1 에서는 부호 항의 합 +1 과 곱 부호 -1 이 상쇄되고, 가족 2 에서는 부호 항의 합 -1 과 곱 부호 +1 이 상쇄되기 때문 — 항상 "반대 부호" 가 짝지어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "양수·음수의 곱 부호 규칙" 만 알면 풀 수 있어요!

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