AMC 8 · 2018 · #21

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticlcmdivisibility-rulespattern-recognition pattern-recognitionmodular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6 으로 나누면 나머지가 2, 9 로 나누면 나머지가 5, 11 로 나누면 나머지가 7 인 세 자리 양의 정수 N (100 ≤ N ≤ 999) 이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다. 세 조건을 동시에 만족해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

세 조건을 그대로 보면 복잡해 보이지만, 각 "나누는 수-나머지" 를 계산하면 6 - 2 = 4, 9 - 5 = 4, 11 - 7 = 4 로 모두 같은 4 가 나옵니다. 이건 도구 #5(패턴 찾기) 가 알려주는 신호입니다 — 매번 N 은 각 나누는 수의 배수보다 정확히 4 만큼 작다는 뜻이고, 따라서 N + 4 는 6, 9, 11 의 공배수입니다. 즉 N + 4 는 lcm(6, 9, 11) = 198 의 배수여야 합니다. 일단 N = 198k - 4 라는 공식이 나오면, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 k = 1, 2, 3, … 를 차례대로 대입해 세 자리 범위에 들어오는 값만 골라 세면 끝입니다.

1STEP 1

각 나누는 수에서 나머지를 빼면 모두 4(6-2=9-5=11-7), 그래서 N + 4 는 6, 9, 11 의 배수.

6 - 2 = 9 - 5 = 11 - 7 = 4 → N + 4 는 6, 9, 11 의 배수

2STEP 2

세 조건을 하나로 묶으면 lcm(6, 9, 11) = 2 × 3² × 11 = 198, 즉 N + 4 는 198 의 배수.

lcm(6, 9, 11) = 2 × 3² × 11 = 198

3STEP 3

따라서 양의 정수 k 에 대해 N + 4 = 198k, 곧 일반형 N = 198k - 4.

N + 4 = 198k ⟹ N = 198k - 4 (k = 1, 2, 3, …)

4STEP 4

N = 198k - 4 를 나열하면 세 자리는 194, 392, 590, 788, 986 뿐 (k=6 은 1184, 초과).

k=1: & N = 198 - 4 = 194 ✓ ; k=2: & N = 396 - 4 = 392 ✓ ; k=3: & N = 594 - 4 = 590 ✓ ; k=4: & N = 792 - 4 = 788 ✓ ; k=5: & N = 990 - 4 = 986 ✓ ; k=6: & N = 1188 - 4 = 1184 × (범위 초과)

5STEP 5

목록 194, 392, 590, 788, 986 을 세면 다섯 개, 따라서 답은 (E).

{194, 392, 590, 788, 986} → 5 개 → (E)

정답

가장 작은 후보 N = 194 를 직접 확인해 봅시다 — 194 ÷ 6 = 32 … 2 (✓), 194 ÷ 9 = 21 … 5 (✓), 194 ÷ 11 = 17 … 7 (✓). 해들은 정확히 198 간격으로 떨어져 있으므로, 답은 [104, 1003] 안에 들어가는 198 의 배수 개수 ⌊

\frac{1003}{198}

⌋ - ⌈

\frac{104}{198}

⌉ + 1 = 5 - 1 + 1 = 5 와 일치합니다. 답 (E) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "최소공배수" 와 "나누는 수-나머지" 패턴만 알면 풀 수 있어요!

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