경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #3

학년 8 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
perfect-squaresexponentsorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 겹으로 포개진 제곱근 식 16√(8√(4)) 의 값을 간단히 하여 선택지 (A) 4, (B) 4√(2), (C) 8, (D) 8√(2), (E) 16 중 알맞은 것을 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
$4\sqrt{2}$
(C)
8
(D)
$8\sqrt{2}$
(E)
16

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

근호가 세 겹이라 복잡해 보이지만, "근호 하나를 풀고, 그 값을 바깥쪽 근호 안에 다시 넣기" 라는 똑같은 작업이 세 번 반복될 뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 큰 식을 세 개의 작은 제곱근 문제로 나눕니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)에 따르면 출발점은 가장 안쪽 근호 — 안쪽이 깔끔한 숫자로 정리돼야 그 바깥을 만질 수 있기 때문입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 예비 검산용입니다: 선택지가 "정수" 와 "정수 × √(2)" 로 갈리므로, 각 층의 근호 안이 완전제곱수가 되면 결과는 깨끗한 정수가 되어 (B)와 (D)를 자동으로 지울 수 있습니다.

1STEP 1

가장 안쪽 근호 풀기

가장 안쪽 근호부터: 4 = 2 × 2 이므로 √(4) = 2.

√(4) = 2
2STEP 2

가운데 근호에 대입하기

가운데 층에 2를 대입하면 √(8 · 2) = √(16).

√(8 √(4)) = √(8 · 2) = √(16)
3STEP 3

가운데 근호 계산하기

가운데 근호를 계산: 16 = 4 × 4 이므로 √(16) = 4.

√(16) = 4
4STEP 4

바깥 근호에 대입하기

바깥 층에 4를 대입하면 식 전체가 √(16 · 4) = √(64) 로 줄어듭니다.

√(16 √(8 √(4))) = √(16 · 4) = √(64)
5STEP 5

바깥 근호 계산하기

바깥 근호를 계산: 64 = 8 × 8 이므로 최종 값은 √(64) = 8, 곧 선택지 (C).

√(64) = 8 → (C)
정답
8
근호 안이 매 층마다 완전제곱수(4, 16, 64)로 떨어졌으므로 답은 깔끔한 정수여야 합니다. 따라서 √(2)가 붙은 (B), (D)는 후보에서 즉시 제거됩니다. 남는 4, 8, 16 중 답 8은 한가운데 값으로, 큰 수(16)를 제곱근으로 압축할수록 값이 줄어드는 경향과 일치하며, 안쪽 결과 √(4)=2와 바깥 상수 16 사이에 잘 끼어 있는 합리적 크기입니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 기호 √( )만 알면 풀 수 있어요 — √(4), √(16), √(64)만 익혀 두면 나머지는 이미 외운 구구단으로 끝나거든요!

  • 가장 안쪽 근호 풀기
  • 가운데 근호에 대입하기
  • 가운데 근호 계산하기
  • 바깥 근호에 대입하기
  • 바깥 근호 계산하기

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