AMC 8 · 2017 · #9

학년 4 rate-rationumber-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

fraction-arithmeticmultipleslcmratio-proportion systematic-enumerationratio-proportion ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmultiples

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

마시는 파란색, 빨간색, 초록색, 노란색 네 가지 색깔의 구슬만 가지고 있어요. 그중 정확히

\frac{1}{3}

이 파란색,

\frac{1}{4}

이 빨간색, 초록색은 정확히 6 개입니다. 마시가 가질 수 있는 노란색 구슬 개수의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

전체 개수를 미지수 T 로 놓고 식을 세우는 대신, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 를 써서 "가능한 가장 작은 전체 개수" 부터 하나씩 대입해 봅니다. 전체의 $\frac{1}{3}$ 과 $\frac{1}{4}$ 이 모두 자연수가 되어야 하므로 전체는 3 과 4 의 공통 배수, 즉 12, 24, 36, … 중 하나입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 값부터 차례로 넣어 보고, 노란 구슬 개수가 처음으로 0 이상의 자연수가 되는 순간이 정답입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 답 4 가 나온 뒤에 "1, 2, 3 은 정말로 불가능한가?" 를 한 번 더 짚어 줍니다.

1STEP 1

파랑 $\frac{1}{3}$ , 빨강 $\frac{1}{4}$ 이 자연수이려면 전체는 3 과 4 의 공배수 — 후보는 12, 24, 36, ...

T ∈ {12, 24, 36, …}

2STEP 2

T = 12: 파랑 4 + 빨강 3 + 초록 6 = 13 으로 12 를 이미 초과 — 노랑 자리가 없어 불가능.

4 + 3 + 6 = 13 ＞ 12 → 노랑 자리가 없음

3STEP 3

T = 24: 파랑 8 + 빨강 6 + 초록 6 = 20, 24 - 20 = 4 노랑 — 0 이상 자연수라 성립.

8 + 6 + 6 = 20, 24 - 20 = 4 (노랑)

4STEP 4

더 작은 후보 12 는 이미 탈락, 36 같은 큰 후보는 노랑 9 개라 더 많음 — 4 가 최솟값.

T=12 → 탈락, T=24 → Y=4, T=36 → Y=9, …

5STEP 5

노란 구슬의 최솟값 4 는 선택지 (D) 와 일치합니다.

Y_min = 4 → (D)

정답

T = 24 로 다시 검산해 볼게요. 8(파랑) + 6(빨강) + 6(초록) + 4(노랑) = 24 로 합이 정확히 맞고,

\frac{8}{24}

\frac{1}{3}

\frac{6}{24}

\frac{1}{4}

로 문제에서 말한 분수 조건도 그대로 성립합니다. 또 노랑이 네 색깔 중 가장 적은 (4 ＜ 6 ≤ 6 ＜ 8) 것도, 문제가 "노랑은 남은 나머지" 라고 암시한 느낌과 자연스럽게 어울립니다. 답 4 가 선택지 (D) 와 정확히 일치하니 배수 관계로 어긋난 답은 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "3 과 4 의 공통 배수" 만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기