경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #9
학년 4 rate-rationumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
전체 개수를 미지수 T 로 놓고 식을 세우는 대신, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 "가능한 가장 작은 전체 개수" 부터 하나씩 대입해 봅니다. 전체의 1/3과 1/4이 모두 자연수가 되어야 하므로 전체는 3과 4의 공통 배수, 즉 12, 24, 36, … 중 하나입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 작은 값부터 차례로 넣어 보고, 노란 구슬 개수가 처음으로 0 이상의 자연수가 되는 순간이 정답입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 답 4가 나온 뒤에 "1, 2, 3은 정말로 불가능한가?" 를 한 번 더 짚어 줍니다.
가능한 총수 정하기
파랑 , 빨강 이 자연수이려면 전체는 3과 4의 공배수 — 후보는 12, 24, 36, ...
3과 4의 공통 배수를 나열하는 일은 대수 없이도 4학년 "배수" 학습 그대로면 충분합니다.
가능한 전체 개수는 3과 4가 모두 나누어떨어지게 하는 수뿐이다 — 12, 24, 36, 이런 식으로 이어진다.
▸ 왜?
구슬의 정확히 3분의 1이 파란색이고 구슬의 개수는 자연수이므로, 전체 더미는 똑같은 크기의 세 묶음으로 나뉘어야 한다 — 즉 3이 전체를 나눈다.
▸ 왜?
전체의 3분의 1이 파란 구슬의 개수이고, 전체는 그 자연수인 파란 구슬 개수를 세 번 반복한 것 — 똑같은 세 묶음이다.
▸ 왜?
구슬의 정확히 4분의 1이 빨간색이고 구슬의 개수는 자연수이므로, 전체 더미는 똑같은 크기의 네 묶음으로 나뉘어야 한다 — 즉 4가 전체를 나눈다.
▸ 왜?
전체의 4분의 1이 빨간 구슬의 개수이고, 전체는 그 자연수인 빨간 구슬 개수를 네 번 반복한 것 — 똑같은 네 묶음이다.
▸ 왜?
전체는 똑같은 세 묶음으로도, 똑같은 네 묶음으로도 동시에 나뉘어야 하므로, 3과 4가 둘 다 나누는 수 — 즉 3과 4의 공배수여야 한다.
▸ 왜?
3과 4가 모두 나누어떨어지게 하는 가장 작은 수는 12이고, 두 수를 모두 나누는 수는 정확히 그 12의 배수들 — 12, 24, 36, ... — 이다. 두 걸음 세기 주기는 최소공배수에서 처음 만나고 그 배수에서만 다시 만나기 때문이다.
총수 12 검사하기
T = 12: 파랑 4 + 빨강 3 + 초록 6 = 13으로 12를 이미 초과 — 노랑 자리가 없어 불가능.
작은 자연수의 곱셈·덧셈만 쓰는 검증이라 3학년 수준에서 충분히 추측·확인할 수 있습니다.
3.OA.A.3Guess And Check총수 24 검사하기
T = 24: 파랑 8 + 빨강 6 + 초록 6 = 20, 24 - 20 = 4 노랑 — 0 이상 자연수라 성립.
곱셈·덧셈·뺄셈을 차례로 묶어서 한 후보를 검증하는 것은 3학년 "두 단계 사칙 문장제" 그 자체입니다.
3.OA.D.8Guess And Check4가 최소인지 확인하기
더 작은 후보 12는 이미 탈락, 36 같은 큰 후보는 노랑 9 개라 더 많음 — 4가 최솟값.
후보를 작은 순서대로 훑으며 처음 성공한 값에서 멈추는 것은 4학년 "여러 단계 추론이 들어간 문장제" 와 같은 흐름입니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities선택지와 맞춰 보기
노란 구슬의 최솟값 4는 선택지 (D) 와 일치합니다.
4 라는 두 자리도 안 되는 수를 선택지에서 골라내는 일은 2학년 수준의 수 읽기로 충분합니다.
2.NBT.B.5Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "3과 4의 공통 배수" 만 알면 풀 수 있어요!
- 가능한 총수 정하기
- 총수 12 검사하기
- 총수 24 검사하기
- 4가 최소인지 확인하기
- 선택지와 맞춰 보기
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