경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #12
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AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 가지 나머지 조건을 한 번에 다루려고 하면 막막하지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 쓰면 문제가 훨씬 가벼워집니다. "N 을 d 로 나눈 나머지가 1" 이라는 말은 "N - 1이 d 의 배수" 와 똑같은 뜻이므로, N 을 직접 찾는 대신 N - 1을 찾으면 됩니다. 즉 4, 5, 6의 공배수 중 가장 작은 양수를 찾으면 끝 — 4학년 배수 개념만 있으면 충분합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 가장 큰 약수인 6의 배수를 차례대로 적어 가며 4와 5 로도 나누어떨어지는 첫 번째 수를 찾고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 N 이 들어가는 구간을 확정합니다.
하나의 배수 조건으로 바꾸기
나머지 1은 N - 1이 그 수로 나누어떨어진다는 뜻이라, 문제는 4, 5, 6의 공배수 찾기로 바뀝니다.
"나머지 1" 은 "배수에서 1 만큼 더 간 자리" 라는 뜻이므로, 1을 빼면 배수 자리에 정확히 떨어진다는 4학년 나머지 감각 그대로입니다.
N을 4, 5, 6으로 나눌 때 나머지가 각각 1이어야 한다는 조건은, N-1이 4, 5, 6의 공배수여야 한다는 조건과 정확히 같다.
▸ 왜?
N을 나누는 수 d 중 하나로 나눌 때 나머지가 1이라는 것은, N이 크기 d인 같은 묶음 몇 개에 딱 1만큼이 남는다는 뜻이므로, N은 d의 배수 위에 1이 얹힌 수다.
▸ 왜?
크기 d인 같은 묶음을 정수 개 쌓은 것이 바로 d의 배수이므로, N에서 묶음으로 이루어진 부분은 실제로 d의 배수다.
▸ 왜?
그 남은 1을 덜어내면 N은 N-1이 되고, 이는 N-1을 묶음 부분에 딱 맞게 내려놓는다 — 남는 것 없는 d의 배수가 되므로 d=4, 5, 6 각각에 대해 d가 N-1을 나누어떨어지게 한다.
▸ 왜?
1을 빼는 것은 남은 것을 얹었던 +1을 정확히 되돌리는 일이므로, 그것을 덜어내면 그 아래 있던 d의 배수가 그대로 남는다.
공배수 찾기
6의 배수 6, 12, ..., 60 중 4와 5 로도 나누어떨어지는 첫 수는 60 — 4, 5, 6의 최소 공배수.
한 수의 배수를 차례로 적으면서 다른 수로 나누어떨어지는지 확인하는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원 그대로의 동작입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List1을 더해 N 구하기
1을 다시 더해 되돌리면 N = 60 + 1 = 61. 다음 공배수 120은 N = 121로 훨씬 크므로 61이 최소입니다.
더 쉬운 문제(N - 1)의 답에서 1을 더해 원래 문제(N)의 답으로 옮기는 것은 4학년 다단계 문장제의 마무리 동작입니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem범위 선택지와 맞춰 보기
61을 구간에 대입하면 [2,19], [20,39], [40,59] 밖이고 80 보다 작으니 [60, 79], 즉 (D) 에 들어갑니다.
61을 구간의 끝값들과 비교하는 것은 4학년 여러 자리 수 비교 그대로입니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지 1 = 배수에서 1 더 간 자리" 라는 배수·나머지 감각만 있으면 풀 수 있어요!
- 하나의 배수 조건으로 바꾸기
- 공배수 찾기
- 1을 더해 N 구하기
- 범위 선택지와 맞춰 보기
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