AMC 8 · 2018 · #10

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-arithmeticmean-median-mode-rangeformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

문제는 0이 아닌 수들의 "조화 평균"을 새로 정의해 줍니다 — 각 수의 역수를 구해 그 평균을 낸 다음, 그 평균의 역수를 다시 취한 값입니다. 이 정의를 그대로 {1, 2, 4} 에 적용해서 (A)~(E) 중 맞는 분수를 골라야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{7}$

(B)

$\frac{7}{12}$

(C)

$\frac{12}{7}$

(D)

$\frac{7}{4}$

(E)

$\frac{7}{3}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

조화 평균의 정의는 한 문장 안에 작은 연산 세 개가 줄줄이 묶여 있습니다 — (1) 각 수를 역수로 바꾸고, (2) 그 역수들의 평균을 내고, (3) 그 평균의 역수를 다시 취하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞는 도구라, 세 개의 쉬운 소문제로 따로 떼어서 차례로 처리하면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)는 마지막에 든든한 안전장치 역할을 합니다: 입력값이 모두 1 이상이므로 조화 평균은 1 보다 크고, 산술 평균 $\frac{7}{3}$ 보다는 작아야 하니, 이 사실만으로도 (A) 와 (B) 는 바로 지워집니다.

1STEP 1

소문제 1 — {1, 2, 4} 의 각 수를 역수로 바꾸면 1, $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ 이 됩니다.

{

\frac{1}{1}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

} = {1,

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

}

2STEP 2

소문제 2-① — 공통분모 4 로 통분해 역수들을 더하면 $\frac{4}{4}$ + $\frac{2}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{7}{4}$ 입니다.

1 +

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{4}{4}

\frac{2}{4}

\frac{1}{4}

\frac{7}{4}

3STEP 3

소문제 2-② — 이 합을 개수 3 으로 나눠 평균을 구하면 $\frac{7}{4}$ × $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{12}$ 입니다.

평균 = 7/4/3 =

\frac{7}{4}

\frac{1}{3}

\frac{7}{12}

4STEP 4

소문제 3 — 정의대로 평균 $\frac{7}{12}$ 을 뒤집어 역수를 취하면 $\frac{12}{7}$ 입니다.

조화 평균 = 1/7/12 =

\frac{12}{7}

5STEP 5

확인: $\frac{12}{7}$ ≈ 1.71 은 1 과 산술 평균 $\frac{7}{3}$ 사이에 들어오므로 답은 (C).

\frac{12}{7}

→ (C)

정답

\frac{12}{7}

양수들의 조화 평균은 항상 "최솟값 이상, 산술 평균 이하" 라는 범위에 갇힙니다. 여기서는 최솟값이 1, 산술 평균이

\frac{7}{3}

≈ 2.33 이므로, 진짜 조화 평균은 1 ≤ H ≤

\frac{7}{3}

사이여야 합니다. 우리의 답

\frac{12}{7}

≈ 1.71 은 이 범위 한가운데에 잘 들어옵니다. (A), (B) 는 1 보다 작아서 불가능, (E) 는 산술 평균 그 자체라 함정, (D)

\frac{7}{4}

= 1.75 는 크기는 그럴듯하지만 실제 계산을 통과하지 못합니다. 안전 범위와 정확한 계산, 두 검증을 모두 통과하는 건 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분수 덧셈" 과 "분수를 자연수로 나누기" 만 알면 풀 수 있어요!

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