AMC 8 · 2018 · #13

학년 6 arithmeticalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

라일라는 5 번의 시험을 봤고, 각 시험 점수는 0 이상 100 이하의 정수입니다. 처음 네 번의 시험 점수는 모두 같은 값 x 이고, 마지막 다섯 번째 시험 점수 y 는 그보다 엄밀히 더 높습니다(y ＞ x). 다섯 점수의 평균이 82 일 때, 마지막 시험 점수 y 가 될 수 있는 정수 값은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

"평균 = 82" 라는 조건을 "다섯 점수의 합 = 410" 으로 바꾸면 4x + y = 410 이 됩니다. 이제 y 는 82 보다 크고 100 이하인 좁은 구간에 갇히는데, 이렇게 후보가 적을 때는 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 후보 y 를 하나씩 넣어 x = (410 - y)/4 가 정수이면서 y ＞ x 인지 보는 게 가장 빠릅니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 후보 y 를 작은 값부터 순서대로 훑어 누락과 중복을 막아 주고, 도구 #3(가능성 지우기) 은 x 가 정수가 아니거나 y ＞ x 를 어기는 후보를 제거하는 방식입니다.

1STEP 1

평균을 총합으로: 5 × 82 = 410, 네 점수는 x 한 점수는 y 이므로 4x + y = 410.

\frac{x + x + x + x + y}{5}

= 82 ⟹ 4x + y = 410

2STEP 2

y ＞ x 이므로 y 는 평균 82 를 넘어야 해 y ＞ 82, 상한 y ≤ 100 과 합치면 83 ≤ y ≤ 100.

y ＞ 82 이고 y ≤ 100 ⟹ 83 ≤ y ≤ 100

3STEP 3

x 가 정수이려면 410 − y 가 4 의 배수여야 하고, 410 = 4 · 102 + 2 이므로 y 는 4 로 나눈 나머지가 2 여야 합니다.

4x = 410 - y ⟹ y 를 4 로 나눈 나머지 = 2

4STEP 4

83–100 에서 나머지 2 인 수를 나열: 86 에서 4 씩 더하면 86, 90, 94, 98, 다음 102 는 100 초과.

y ∈ {86, 90, 94, 98}

5STEP 5

각 후보에 x = (410 − y)/4 로 81, 80, 79, 78, 모두 y ＞ x 라 4 가지 모두 유효.

y = 86 → x = 81, y = 90 → x = 80, y = 94 → x = 79, y = 98 → x = 78 — 모두 정수이고 y ＞ x. 개수 = 4 → (A)

정답

양 끝 값을 직접 검산합니다. 가장 작은 y = 86 일 때 x = 81 이고 평균은

\frac{4 · 81 + 86}{5}

\frac{410}{5}

= 82, 86 ＞ 81 도 OK. 가장 큰 y = 98 일 때 x = 78 이고 평균은

\frac{4 · 78 + 98}{5}

\frac{410}{5}

= 82, 98 ＞ 78 도 OK. y 가 1 증가하면 x 는

\frac{1}{4}

감소해야 하므로, x 를 정수로 유지하려면 y 는 반드시 4 의 간격으로 움직여야 하고 그래서 후보가 정확히 4 개 — 선택지 (A) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균 × 개수 = 총합" 과 부등식만 알면 풀 수 있어요!

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