AMC 8 · 2018 · #15

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesratio-proportionformula-substitution area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 원 안에 똑같이 생긴 작은 원 두 개가 들어 있습니다. 작은 원 하나의 지름이 큰 원의 반지름과 같아서, 두 작은 원이 큰 원의 지름을 따라 딱 맞게 놓여 있습니다. 두 작은 원의 넓이의 합이 1 제곱 단위일 때, 색칠된 부분 — 즉, 큰 원에서 두 작은 원을 뺀 도넛 모양 — 의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

(E)

$\frac{\pi}{2}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 영역이 "큰 원에서 작은 원 두 개를 잘라낸 모양" 이라는 합성 도형이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 가장 자연스럽습니다 — 색칠된 넓이 = (큰 원 넓이) - (두 작은 원 넓이). 그 다음 도구 #1(그림 그리기)로 작은 원의 반지름을 r 이라 쓰고 큰 원의 반지름이 R = 2r 이 됨을 표시해 두면 관계가 한눈에 보입니다. 마지막으로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 안전장치 역할입니다 — 굳이 π 를 끝까지 끌고 갈 필요 없이, 작은 원 두 개의 넓이 합이 "이미 1 로 주어져 있다" 는 사실을 활용하면, "큰 원이 작은 원 두 개 합의 몇 배인가?" 라는 단순한 비교 문제로 바뀝니다.

1STEP 1

작은 원의 반지름을 r 이라 하면, 작은 원의 지름 2r 이 곧 큰 원의 반지름이므로 R = 2r.

R = 2r

2STEP 2

넓이 공식 A = π r² 로, 작은 원 둘은 합쳐서 2π r², 큰 원은 π(2r)² = 4π r² 입니다.

A_작은 합 = 2π r², A_큰 = π(2r)² = 4π r²

3STEP 3

색칠 = 큰 원 - 작은 원 둘 = 4π r² - 2π r² = 2π r² 로, 작은 원 두 개의 넓이 합과 똑같은 식이 됩니다.

A_색칠 = 4π r² - 2π r² = 2π r²

4STEP 4

작은 원 둘이 2π r² = 1 이고 색칠된 넓이도 2π r² 이므로, 색칠된 넓이 역시 1 입니다.

A_색칠 = 2π r² = 1 → (D) 1

정답

그림으로 다시 확인: 큰 원의 반지름이 작은 원의 2 배이므로, 큰 원의 넓이는 작은 원 하나의 4 배입니다 (반지름이 2 배가 되면 넓이는 2² = 4 배). 작은 원 하나의 넓이는

\frac{1}{2}

(두 개 합쳐서 1 이니까) 이므로, 큰 원의 넓이는 4 ×

\frac{1}{2}

= 2. 따라서 색칠된 넓이 = 2 - 1 = 1. 답 (D) 와 일치합니다. (E)

\frac{π}{2}

는 "답에 π 가 남아 있을 것" 이라고 착각할 때 빠지는 함정으로, 사실은 주어진 1 안에 이미 π 가 흡수돼 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 A = π r² 만 알면 풀 수 있어요 — 게다가 색칠된 부분과 작은 원 두 개의 넓이 식이 똑같이 나와서, 정답은 이미 문제에서 알려준 1 그대로랍니다!

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