AMC 8 · 2018 · #16

학년 5 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

permutations-basicfactorialcombinations-basic identify-subproblems ↑ 선수 지식: factorialmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

장 교수는 책장 한 줄에 서로 다른 어학 책 9 권 — 아랍어 2 권, 독일어 3 권, 스페인어 4 권 — 을 늘어놓으려 합니다. 단, 아랍어 책 2 권은 서로 붙어 있어야 하고(한 덩어리), 스페인어 책 4 권도 서로 붙어 있어야 합니다(또 한 덩어리). 독일어 책 3 권에는 자리 제약이 없습니다. 이 두 "붙어 있어야 한다" 조건을 모두 지키는 책장 배열은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1440

(B)

2880

(C)

5760

(D)

182,440

(E)

362,880

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

9! 가지 배열을 모두 늘어놓고 조건을 거르는 건 손으로 할 수 없으니, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그림을 줄여 봅니다 — "붙어 있어야 하는" 그룹을 각각 한 권짜리 큰 책(블록)으로 묶어 배열할 단위 수를 확 줄이고, 3!=6 같은 작은 사례로 패턴을 먼저 눈에 익힙니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 개수를 세 조각 — 5개 단위의 바깥 배열, 아랍어 블록 내부 배열, 스페인어 블록 내부 배열 — 으로 나눠 곱의 법칙으로 합칩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "식이 잘 와닿지 않을 때" 백업 — 아랍어 쌍의 2 가지 순서, 스페인어 네 권의 24 가지 순서를 직접 나열해 보면 내부 개수가 손에 잡힙니다.

1STEP 1

붙어야 하는 그룹을 한 덩어리로: 아랍어→블록 A, 스페인어→블록 S, 독일어는 그대로 — 늘어놓을 건 5 개 단위뿐.

{ A, S, G₁, G₂, G₃ } (5 개 단위)

2STEP 2

5 개 단위를 한 줄로: 5! = 5·4·3·2·1 = 120 가지 — 3! = 6 인 작은 사례와 같은 논리.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

3STEP 3

블록 A 안을 보면 두 권은 a₁a₂ 또는 a₂a₁ — 딱 2! = 2 가지 내부 순서.

2! = 2

4STEP 4

블록 S 안도 마찬가지: 네 권은 4! = 4·3·2·1 = 24 가지로 늘어섭니다.

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

5STEP 5

세 독립 선택을 곱의 법칙으로: 5! · 2! · 4! = 120 · 2 · 24 = 5,760 — 정답 (C).

5! × 2! × 4! = 120 × 2 × 24 = 5,760 → (C)

정답

5760

조건 없이 9 권을 늘어놓는 경우의 수는 9! = 362,880 (선택지 (E)) 입니다. "붙어 있어야 한다" 라는 제약은 이 수를 줄여야 하므로 답은 9! 보다 훨씬 작아야 하고, 5,760 은 9! 의 약

\frac{1}{63}

로 충분히 줄어든 모습입니다. 거꾸로 추정해 봐도: 9! 중 아랍어 쌍이 이웃한 비율은 약

\frac{2}{9}

, 스페인어 네 권이 한 덩어리인 비율은 약

\frac{4! · 6!}{9!}

\frac{1}{21}

이고, 9! ·

\frac{2}{9}

\frac{1}{21}

≈ 3,840 — 5,760 과 자릿수가 같은 안정적인 어림셈입니다. 반대로 (D) 182,440, (E) 362,880 은 "제약이 거의 안 줄였다" 는 뜻이라 상식 검토를 통과하지 못합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 그룹을 한 덩어리로 묶고 5! × 2! × 4! 만 계산하면 끝!

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