AMC 8 · 2018 · #18

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

prime-factorizationdivisor-countexponents identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

23,232 을(를) 나누어떨어지게 하는 양의 정수(1 과 23,232 자체 포함)가 모두 몇 개인지 세어, 일치하는 선택지를 고릅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

23,232 의 약수를 직접 다 나열하는 건 너무 힘듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) 23,232 를 소인수분해 하고, (b) 소인수분해 결과로 약수 개수를 구한다. 두 번째 단계의 "공식" 을 그냥 외우지 않고 정당화하기 위해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 와 도구 #5(패턴 찾기) 를 같이 씁니다. 예를 들어 12 = 2² · 3 의 약수 6 개를 직접 나열해 보면 6 = (2+1)(1+1) 이라는 규칙이 눈에 들어오고, 이걸 큰 수에 그대로 적용하면 됩니다 — 공식 암기보다 훨씬 초등 수준에 친절합니다.

1STEP 1

23,232 는 짝수라 홀수가 될 때까지 2 로 계속 나누면 여섯 번 만에 끝나, 23232 = 2⁶ · 363 이 됩니다.

23232 ÷ 2 = 11616, 11616 ÷ 2 = 5808, 5808 ÷ 2 = 2904, 2904 ÷ 2 = 1452, 1452 ÷ 2 = 726, 726 ÷ 2 = 363. 총 6 번이므로 23232 = 2⁶ · 363.

2STEP 2

홀수 부분 363 = 3 × 11² (자릿수 합 12 라 3 의 배수), 따라서 23232 = 2⁶ · 3¹ · 11².

363 = 3 × 121 = 3 × 11², 따라서 23232 = 2⁶ · 3¹ · 11².

3STEP 3

12 = 2² · 3 로 확인해 보면 약수가 여섯 개, (2+1)(1+1) = 6 — 각 소수의 지수를 따로 고르니 개수가 곱해집니다.

12 = 2² · 3¹ → 약수 개수 = (2+1)(1+1) = 6 ✓

4STEP 4

23232 = 2⁶ · 3¹ · 11² 이니 지수가 7, 2, 3 가지 선택을 주고, 약수 개수는 (6+1)(1+1)(2+1) = 42.

약수 개수 = (6+1)(1+1)(2+1) = 7 · 2 · 3 = 42

5STEP 5

구한 약수 개수 42 는 선택지 (E) 와 일치합니다.

42 → (E)

정답

소인수분해가 맞는지 빠르게 확인해 봅시다 — 2⁶ = 64, 64 × 3 = 192, 그리고 192 × 121 = 23,232 (192 × 100 = 19,200, 192 × 21 = 4,032, 합치면 23,232). 또한 42 는 선택지 중 가장 큰 값인데, 서로 다른 소인수 3 개와 그중 2 의 지수가 6 이나 되는 수라면 약수가 많이 나오는 게 자연스럽습니다. 9 나 12 같은 작은 값보다 42 가 훨씬 그럴듯합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "자연수 지수" 와 4학년 "소인수" 만 알면 풀 수 있어요!

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