경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #18
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
23,232의 약수를 직접 다 나열하는 건 너무 힘듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) 23,232를 소인수분해 하고, (b) 소인수분해 결과로 약수 개수를 구한다. 두 번째 단계의 "공식" 을 그냥 외우지 않고 정당화하기 위해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)와 도구 #5(패턴 찾기)를 같이 씁니다. 예를 들어 12 = 2² · 3의 약수 6 개를 직접 나열해 보면 6 = (2+1)(1+1) 이라는 규칙이 눈에 들어오고, 이걸 큰 수에 그대로 적용하면 됩니다 — 공식 암기보다 훨씬 초등 수준에 친절합니다.
2의 인수 모두 빼내기
23,232는 짝수라 홀수가 될 때까지 2로 계속 나누면 여섯 번 만에 끝나, 23232 = 2⁶ · 363 이 됩니다.
여러 자리 수를 한 자리 수로 반복해서 나누는 것은 5학년 "긴 나눗셈" 그대로입니다.
5.NBT.B.6Identify Subproblems홀수 부분 인수분해하기
홀수 부분 363 = 3 × 11² (자릿수 합 12 라 3의 배수), 따라서 23232 = 2⁶ · 3¹ · 11².
자릿수 합 규칙으로 3 ∣ 363을 알아내고 121 = 11²을 알아채는 것은 4학년 "약수쌍·소수/합성수" 의 핵심입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems12로 규칙 시험하기
12 = 2² · 3로 확인해 보면 약수가 여섯 개, (2+1)(1+1) = 6 — 각 소수의 지수를 따로 고르니 개수가 곱해집니다.
작은 수에서 먼저 풀어 보는 것이 4학년 "모든 약수쌍 찾기" 이고, 동시에 곱셈 규칙이 "왜 그런지" 가 자연스럽게 보입니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem약수 개수 공식 적용하기
23232 = 2⁶ · 3¹ · 11² 이니 지수가 7, 2, 3 가지 선택을 주고, 약수 개수는 (6+1)(1+1)(2+1) = 42.
소인수분해 p^e 에서 지수 e 를 읽어내 e+1 가지 선택으로 바꾸는 것은 6학년 "자연수 지수" 의 기본 활용입니다.
2⁶ · 3¹ · 11²의 양의 약수의 개수는 정확히 곱 (6+1)(1+1)(2+1)과 같다.
▸ 왜?
약수의 개수를 세는 것은 2의 거듭제곱(2⁰부터 2⁶까지), 3의 거듭제곱(3⁰부터 3¹까지), 11의 거듭제곱(11⁰부터 11²까지)을 각각 따로 골라 곱하는 방법의 수를 세는 것과 같다.
▸ 왜?
약수와 이 지수 선택은 하나씩 짝을 이룬다: 모든 약수는 0 ≤ a ≤ 6, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 2를 만족하는 2^a · 3^b · 11^c 꼴 하나에 정확히 대응하고, 그런 곱은 모두 약수이다.
▸ 왜?
이 수를 소수의 곱으로 만드는 방법은 2⁶ · 3¹ · 11² 하나뿐이므로, 어떤 약수든 소수 2, 3, 11만 쓸 수 있고 각 소수를 이 수가 가진 것보다 많이 쓸 수 없다. 그래서 약수는 그 지수 범위 안의 2^a · 3^b · 11^c 꼴들 바로 그것뿐이며 — 빠지는 것도 없고 겹치는 것도 없다.
▸ 왜?
약수 하나가 지수 선택 하나에, 지수 선택 하나가 약수 하나에 정확히 짝지어지면 두 무리의 크기는 같을 수밖에 없으므로, 지수 선택을 세면 약수를 센 것이 된다.
▸ 왜?
2의 거듭제곱을 고르는 방법이 7가지이고, 그 각각에 대해 3과 11의 거듭제곱을 마저 고르는 방법이 똑같이 2 × 3 = 6가지이므로, 약수들은 6개씩 7개의 같은 묶음으로 나뉘고 전체는 7 · 2 · 3이 된다.
42를 선택지와 맞추기
구한 약수 개수 42는 선택지 (E) 와 일치합니다.
결과를 선택지와 대조하는 것은 4학년 "약수 개수 확인" 수준의 마지막 점검입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "자연수 지수" 와 4학년 "소인수" 만 알면 풀 수 있어요!
- 2의 인수 모두 빼내기
- 홀수 부분 인수분해하기
- 12로 규칙 시험하기
- 약수 개수 공식 적용하기
- 42를 선택지와 맞추기
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