AMC 8 · 2018 · #22

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportionarea-rectangles area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 ABCD 에서 점 E 는 변 CD 의 중점이고, 선분 BE 는 대각선 AC 와 점 F 에서 만납니다. 네 꼭짓점 A, F, E, D 로 이루어진 사각형 AFED 의 넓이가 45 일 때, 정사각형 ABCD 전체의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

108

(C)

120

(D)

135

(E)

144

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기) 의 핵심은 주어진 그림 위에 정보를 더 적는 것 입니다 — E 가 중점임을 표시하고 CE = ED = $\frac{s}{2}$ 라 적으면, 큰 직각삼각형 △ ACD 안에 작은 직각삼각형 △ FCE 가 쏙 들어가 있다는 구조가 보입니다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 자연스럽게 떠오릅니다 — 다루기 까다로운 사각형 AFED 는 "정사각형의 절반" 인 △ ACD 에서 작은 △ FCE 만 빼면 되므로, 결국 작은 삼각형 하나만 구하면 끝입니다. 점 F 의 위치는 대수 없이도 알 수 있도록 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 처리합니다 — E 가 중점이고 △ ACD 가 직각이라는 점을 살려 한 변을 s = 6 으로 잡으면 좌표가 모두 정수가 되어 F 의 위치를 쉽게 찾을 수 있고, 거기서 얻은 비율은 어떤 s 에도 그대로 적용됩니다.

1STEP 1

격자에 올려 s = 6 으로 두면 좌표가 모두 정수: E=(3,0), CE = ED = 3 (도구 #9).

s = 6, CE = ED = 3

2STEP 2

AC(x+y=6)와 BE(y=2(x-3))를 연립하면 교점 F = (4, 2).

F = (4, 2), CD 로부터의 높이 y_F = 2 =

\frac{s}{3}

3STEP 3

도구 #7: AC 가 정사각형을 반(△ ACD)으로 가르고, AFED 는 그 삼각형에서 모서리 △ FCE 만 뺀 모양.

[AFED] = [△ ACD] - [△ FCE]

4STEP 4

s = 6 에서 [△ ACD] = $\frac{1}{2}$ ·6·6 = 18, [△ FCE] = $\frac{1}{2}$ ·3·2 = 3 이므로 [AFED] = 15.

[△ ACD] = 18, [△ FCE] = 3, [AFED] = 18 - 3 = 15

5STEP 5

시험 정사각형에서 $\frac{[AFED]}{[□ ABCD]}$ = $\frac{15}{36}$ = $\frac{5}{12}$ , $\frac{5}{12}$ ·넓이 = 45 → 넓이 = 108 → (B).

\frac{[AFED]}{([□ ABCD])}

\frac{15}{36}

\frac{5}{12}

→ [□ ABCD] = 45 ·

\frac{12}{5}

= 108 → (B)

정답

108

그림을 보면 AFED 는 정사각형의 "절반보다 약간 작은" △ ACD 의 대부분을 차지하므로 대략 전체의

\frac{1}{3}

정도입니다. 그래서 정사각형의 넓이는 3 × 45 = 135 보다 약간 작은 값이어야 하고, 계산한 108 은 정확히 그 범위에 들어옵니다. 또

\frac{12}{5}

· 45 = 12 · 9 = 108 이 깔끔한 정수로 떨어지는 것도, 대회 문제답게 답이 "정돈된 값" 으로 나오는 것과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론과 삼각형 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

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