경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2018 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangegraph-readingfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

가르시아 선생님의 보건 수업을 듣는 학생들이 지난주에 하루 30 분 이상 운동한 날 수를 각자 보고했고, 그 결과가 막대그래프로 정리되어 있습니다. 막대 하나는 "그만큼의 날을 운동했다" 고 답한 학생 수를 나타냅니다. 학생 한 명당 평균 운동 일수를 구해 소수점 둘째 자리까지 반올림한 뒤, 다섯 개 선택지 중 맞는 것을 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.50

(B)

3.57

(C)

4.36

(D)

4.50

(E)

5.00

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

데이터가 "막대그래프" 라는 그림 안에 들어 있어서 그대로는 계산이 어렵습니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 막대를 도수 분포표로 옮겨 적으면, 같은 정보가 계산하기 쉬운 형태로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 평균 구하기를 두 토막 — (a) 전체 학생 수 = 도수의 합, (b) 전체 운동 일수 = (날 수 × 학생 수)의 가중합 — 으로 나누고, 둘을 나누면 평균이 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 검산용입니다 — 4 일과 5 일에 학생이 몰려 있으니 평균은 반드시 4와 5 사이에 떨어져야 하고, 이것만으로도 (A), (B), (D), (E)가 모두 탈락하고 (C)만 남습니다.

1STEP 1

그래프를 표로 바꾸기

막대그래프를 도수 분포표로 옮겨 적습니다 — 각 막대의 높이가 그 일수만큼 운동한 학생 수입니다.

운동 일수 & 학생 수 ; 1 & 1 ; 2 & 3 ; 3 & 2 ; 4 & 6 ; 5 & 8 ; 6 & 3 ; 7 & 2

2STEP 2

전체 학생 수 세기

첫 번째 소문제 — 도수 열을 모두 더하면 학급 학생은 25 명입니다.

1 + 3 + 2 + 6 + 8 + 3 + 2 = 25 명

3STEP 3

전체 운동 일수 구하기

두 번째 소문제 — 각 일수에 학생 수를 곱해 더하는 가중합으로, 학급 전체 운동 일수는 109 일입니다.

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 2 + 4 · 6 + 5 · 8 + 6 · 3 + 7 · 2 = 1 + 6 + 6 + 24 + 40 + 18 + 14 = 109 일

4STEP 4

나누어 평균 구하기

일수를 학생 수로 나눕니다 — $\frac{109}{25}$ 의 분모를 4 배 해 $\frac{436}{100}$ 으로 바꾸면 4.36 이 바로 읽힙니다.

평균 = 109/25 = (109 × 4)/(25 × 4) = 436/100 = 4.36

수치 자료의 평균을 (값의 합) ÷ (값의 개수)로 정의해 계산하는 것은 6학년 "자료 요약" 표준입니다 — 결과를 소수로 표현하는 부분은 5학년 소수 셈에 살짝 기댑니다.

이 반의 평균 운동 일수는 109 ÷ 25이고, 그 값은 4.36이다.

▸ 왜?

평균은 반 전체의 운동 일수를 모든 학생에게 똑같이 나눠 준 값이므로, 전체 109일을 25개의 같은 몫으로 나눈 것이다.

▸ 왜?

반 전체의 운동 일수는 모두 109일이다: 각 막대는 (그 일수) × (그렇게 답한 학생 수)만큼을 더하고, 일곱 결과를 모두 합친다.

▸ 왜?

일수에 학생 수를 곱하는 것이 맞는 이유는 그 학생들이 모두 같은 일수만큼 운동했으므로, 같은 크기의 묶음을 그만큼 함께 센 것이기 때문이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

일곱 곱을 더하면 반 전체 일수가 되는 이유는 일곱 학생 무리가 서로 겹치지 않고 빠뜨리는 사람도 없어서, 그 일수들이 다시 전체를 이루기 때문이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

학생은 25명인데, 일곱 막대 높이는 함께 반 전체를 이루는 서로 다른 무리를 세므로, 그것들을 더하면 모두를 한 번씩 센 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

109일 전체를 25명에게 똑같이 나누는 것이 바로 평균이다: 자료의 평균은 값들의 합을 값의 개수로 나눈 것으로 정의된다.

평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).

▸ 왜?

그 몫 109 ÷ 25이 4.36과 같은 이유는, 분모를 100으로 다시 쓰면 436/100, 곧 436개의 1/100이 되기 때문이다.

▸ 왜?

분자와 분모에 똑같이 4를 곱해도 값이 변하지 않는 이유는, 그것이 분수에 4/4을 곱하는 것과 같고 4/4은 1이기 때문이다.

곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.

▸ 왜?

436/100을 4.36으로 쓰는 이유는 각 자리가 아래 자리 열 개를 묶은 것이라, 분모 100은 숫자를 소수점 뒤 두 자리에 놓기 때문이다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

6.SP.B.5Identify Subproblems

5STEP 5

선택지와 맞춰 보기

4.36 → (C)

정답

4.36

25 명 중 14 명이 4 일 또는 5 일을 답했으므로 평균은 그 중간값 4.5 근처여야 자연스럽습니다. 1, 2, 3 일을 답한 학생이 몇 명 섞이면서 평균을 4.5 보다 살짝 아래로 끌어내려 4.36이 나온 것이고, 실제 계산 결과와 정확히 맞습니다. 평균은 최솟값 1과 최댓값 7 사이에도 잘 들어 있어 어떤 의미에서도 "말이 되는" 답입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평균 = 전체 합 ÷ 개수" 만 알면 풀 수 있어요!

그래프를 표로 바꾸기
전체 학생 수 세기
전체 운동 일수 구하기
나누어 평균 구하기
선택지와 맞춰 보기

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전체 학생 수 세기

전체 운동 일수 구하기

나누어 평균 구하기

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