경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2019 · #12
학년 0 geometry-3dlogic
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AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
정육면체의 면 배치를 알아내는 입체 문제라서 도구 #17(공간 상상하기)이 가장 자연스럽게 들어맞습니다. 초등 저학년 학습자라면 실제 주사위나 종이 정육면체로 직접 만져 보는 도구 #10이 "맞닿는 면" 의 감각을 한 번에 잡아 줍니다. 핵심 관찰은 빨강(R)이 세 그림 모두에 등장한다는 것이에요 — 그래서 빨강을 "축" 으로 삼아 세 그림의 이웃 정보를 모두 모으면 빨강과 맞닿는 면들의 전체 목록을 만들 수 있습니다. 그 다음에는 도구 #16(관점 바꾸기)을 써서 청록을 직접 찾는 대신 "빨강의 맞은편 면이 무엇인가" 를 먼저 알아낸 뒤, "맞은편" 관계의 대칭성을 이용해 질문을 뒤집어 답을 얻습니다.
정육면체 면 구조 떠올리기
정육면체의 한 면은 이웃 4 개와 맞은편 1 개를 가집니다.
정육면체의 한 면이 이웃 4 개 + 맞은편 1 개를 갖는다는 사실은 유치원 수준 입체도형 감각만으로도 충분합니다.
K.G.B.4Visualize Spatial Relationships세 그림 읽기
한 꼭짓점의 세 면은 서로 둘씩 맞닿으므로, 그림마다 "이웃" 정보 한 묶음이 나옵니다.
실제 정육면체를 손에 들고 한 꼭짓점을 짚어 보면 "세 면이 동시에 만난다" 는 사실이 손으로 바로 느껴집니다.
K.G.B.4Create A Physical Representation빨강의 이웃 면 모으기
빨강을 축으로 삼으면, 세 그림에서 빨강은 갈색·초록·흰색·보라와 맞닿습니다.
세 꼭짓점에서 모은 이웃들을 한 곳에 합치면 "빨강 둘레" 의 전체 그림이 만들어집니다.
K.G.B.4Visualize Spatial Relationships소거해서 마주 보는 면 찾기
빨강은 자신과 이웃 4 개를 차지하므로, 남은 단 하나의 색 청록이 빨강의 맞은편입니다.
6 가지 색 중 5 가지가 자리 잡았으니 남은 1 가지(청록)가 곧 맞은편 — "6 빼기 5는 1" 의 유치원 셈입니다.
Red 면의 맞은편 면은 Aqua이다.
▸ 왜?
여섯 색은 저마다 Red에 대해 딱 하나의 역할을 맡는다 — Red 자신이거나, Red의 네 이웃 중 하나이거나, Red의 단 하나뿐인 맞은편이다. 그래서 Red의 이웃이 한 번도 되지 못하는 색은 맞은편 자리로 밀려나며, 그 색이 Aqua이다.
▸ 왜?
정육면체의 여섯 면은 겹침도 빈틈도 없이 Red, Red의 네 이웃, Red의 맞은편 하나로 나뉜다. Red와 그 네 이웃을 빼고 나면 정확히 한 색만 남고, 그것이 맞은편 면일 수밖에 없다.
▸ 왜?
Red의 네 이웃은 세 그림에서 모은 Brown, Green, White, Purple이므로, 한 번도 Red 곁에 놓이지 않는 색은 Aqua뿐이다.
▸ 왜?
각 그림에서 보이는 세 면은 정육면체의 한 꼭짓점에 속하며, 이 면들은 Red 주위의 이웃 역할을 맡을 뿐 멀리 떨어진 맞은편 역할은 아니다. 그래서 Red 곁에 그려진 면은 모두 이웃이고 그 색은 Brown, Green, White, Purple이다.
관계 뒤집기
"맞은편"은 양방향이라, 청록이 빨강의 맞은편이면 청록의 맞은편은 빨강 — 답 (A).
정육면체의 맞은편 면은 항상 짝을 이루므로, 한쪽 방향을 알면 반대 방향도 동시에 정해집니다.
K.G.B.4Visualize Spatial Relationships이 AMC 8 문제는 사실 유치원 때 배운 정육면체 감각과 "6 빼기 5는 1" 의 덧·뺄셈만 알면 풀 수 있어요!
- 정육면체 면 구조 떠올리기
- 세 그림 읽기
- 빨강의 이웃 면 모으기
- 소거해서 마주 보는 면 찾기
- 관계 뒤집기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
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