AMC 8 · 2019 · #12

학년 0 geometry-3dlogic

유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Deduce Face Adjacency from Multiple 3D Views

face-adjacencyspatial-visualizationlogical-deduction caseworkphysical-representation ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정육면체의 여섯 면을 각각 다른 색 — 빨강(R), 흰색(W), 초록(G), 갈색(B), 청록(A), 보라(P) — 으로 칠했습니다. 같은 정육면체를 세 방향에서 본 그림이 주어져 있고, 각 그림에는 한 꼭짓점에서 만나는 세 면이 보입니다. 이 세 장의 그림을 종합해서, 청록색 면의 맞은편 면은 무슨 색인지 알아내야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{ red}$

(B)

$text{ white}$

(C)

$text{ green}$

(D)

$text{ brown}$

(E)

$text{ purple}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

정육면체의 면 배치를 알아내는 입체 문제라서 도구 #17(공간 상상하기) 이 가장 자연스럽게 들어맞습니다. 초등 저학년 학습자라면 실제 주사위나 종이 정육면체로 직접 만져 보는 도구 #10 이 "맞닿는 면" 의 감각을 한 번에 잡아 줍니다. 핵심 관찰은 빨강(R) 이 세 그림 모두에 등장한다는 것이에요 — 그래서 빨강을 "축" 으로 삼아 세 그림의 이웃 정보를 모두 모으면 빨강과 맞닿는 면들의 전체 목록을 만들 수 있습니다. 그 다음에는 도구 #16(관점 바꾸기) 을 써서 청록을 직접 찾는 대신 "빨강의 맞은편 면이 무엇인가" 를 먼저 알아낸 뒤, "맞은편" 관계의 대칭성을 이용해 질문을 뒤집어 답을 얻습니다.

1STEP 1

정육면체의 한 면은 이웃 4 개와 맞은편 1 개를 가집니다.

6 = 1 (자기 자신) + 4 (이웃 면) + 1 (맞은편 면)

2STEP 2

한 꼭짓점의 세 면은 서로 둘씩 맞닿으므로, 그림마다 "이웃" 정보 한 묶음이 나옵니다.

그림 1: {R, B, G}, 그림 2: {W, B, R}, 그림 3: {P, R, G}

3STEP 3

빨강을 축으로 삼으면, 세 그림에서 빨강은 갈색·초록·흰색·보라와 맞닿습니다.

R 의 이웃들 = {B, G} ∪ {W, B} ∪ {P, G} = {B, G, W, P}

4STEP 4

빨강은 자신과 이웃 4 개를 차지하므로, 남은 단 하나의 색 청록이 빨강의 맞은편입니다.

{R, W, G, B, A, P} ∖ {R, B, G, W, P} = {A} — 즉, 빨강의 맞은편 면은 청록(A)

5STEP 5

"맞은편"은 양방향이라, 청록이 빨강의 맞은편이면 청록의 맞은편은 빨강 — 답 (A).

청록의 맞은편 = 빨강의 맞은편을 거꾸로 본 것 → (A)

정답

text{ red}

다른 색을 축으로 삼아 한 번 더 확인합니다. 그림 2 에서 갈색(B) 은 빨강·흰색과 맞닿고, 그림 1 에서는 갈색이 초록과도 맞닿습니다 — 즉 갈색의 이웃 후보는 {R, W, G} 로, 청록이 다른 자리에 있다는 결론과 전혀 모순되지 않습니다. 무엇보다 청록(A) 이 세 그림 어디에도 보이지 않는 것은, 청록이 정육면체의 "뒤쪽" — 즉 매번 빨강 면에 가려지는 자리 — 에 있다는 답과 정확히 들어맞습니다. 답 (A) 빨강은 모든 그림과 모순 없이 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 유치원 때 배운 정육면체 감각과 "6 빼기 5 는 1" 의 덧·뺄셈만 알면 풀 수 있어요!

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