경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #13

학년 4 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
multiplesdivisibility-rulesdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
회문(palindrome)은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수입니다 (예: 12321). N 을 다음 두 조건을 모두 만족하는 가장 작은 세 자리 정수라고 합시다 — (1) N 자체는 회문이 아니다, (2) N 은 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 나타낼 수 있다. 이 N 의 자릿수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

두 자리 회문은 11, 22, 33, …, 99 단 아홉 개뿐이라, 도구 #5(패턴 찾기)로 "전부 11의 배수" 라는 핵심 패턴을 곧바로 잡아낼 수 있습니다. 이 한 가지 관찰만으로 N 도 반드시 11의 배수임이 보장되어, 세 자리 수 900 개의 후보가 매우 짧은 목록으로 줄어듭니다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 세 자리 11의 배수를 작은 것부터 (110, 121, 132, …) 차례로 적어 회문이 아닌 가장 작은 후보를 골라냅니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그 후보가 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 검산합니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)까지 가지 않아도 충분히 깔끔하게 풀리는 길입니다.

1STEP 1

두 자리 회문수 나열하기

두 자리 회문을 전부 나열합니다 — 두 자리가 같아야 하므로 아홉 개뿐입니다.

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}
2STEP 2

11의 배수 규칙 찾기

패턴 발견 — 각 회문 aa 는 10a + a = 11a 이므로 아홉 개 모두 11의 배수입니다.

aa = 10a + a = 11a
3STEP 3

합도 배수임 보이기

N 은 11의 배수 세 개의 합이므로 N 도 11의 배수 — 세 자리 11의 배수만 살피면 됩니다.

N = 11k₁ + 11k₂ + 11k₃ = 11(k₁ + k₂ + k₃)
4STEP 4

세 자리 배수 훑어보기

세 자리 11의 배수를 훑으면 110은 회문 아님(121은 회문) — 가장 작은 후보는 110.

110, 121, 132, … ⟹ 회문이 아닌 가장 작은 후보 = 110
5STEP 5

110을 만들 수 있는지 확인하기

110이 되는지 확인 — 11 + 22 + 77 = 110, 서로 다른 두 자리 회문 세 개입니다.

11 + 22 + 77 = 110
6STEP 6

각 자리 수 더하기

N = 110의 자릿수를 더하면 1 + 1 + 0 = 2 → (A).

1 + 1 + 0 = 2 → (A)
정답
2
선택지 (A) ∼ (E)가 모두 한 자리 수(2부터 6까지) 라는 점은 N 이 자릿수 합이 작은 세 자리 수라는 뜻과 잘 맞고, 1 + 1 + 0 = 2가 (A)와 일치합니다. 혹시 더 작은 N 을 놓치진 않았는지 확인해 보면 — 두 자리 회문이 모두 11의 배수라서 그 합도 11의 배수여야 하는데, 110 보다 작은 세 자리 11의 배수는 없습니다. 따라서 N = 110은 강제되고, 자릿수 합 2가 정답입니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "배수" 만 알면 풀 수 있어요 — 두 자리 회문이 모두 11의 배수라는 사실 하나만 잡으면 답이 술술 나옵니다!

  • 두 자리 회문수 나열하기
  • 11의 배수 규칙 찾기
  • 합도 배수임 보이기
  • 세 자리 배수 훑어보기
  • 110을 만들 수 있는지 확인하기
  • 각 자리 수 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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