경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2025 · #22
학년 4 number-theoryalgebra
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"가능한 코트 개수가 몇 가지인지" 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 어울립니다. 코트 개수 c 를 하나씩 정해 보면, 남는 빈 걸이 35 - c 개를 c+1 묶음으로 똑같이 나눠야 하니까, c 마다 "c+1이 35-c 를 똑 떨어지게 나누는지"만 확인하면 됩니다 — 이게 도구 #6(추측하고 확인하기)의 역할입니다. 그러다 보면 깔끔한 패턴(도구 #5)이 보입니다: 35 - c = 36 - (c+1) 이므로 "c+1이 35-c 의 약수" 라는 조건은 결국 "c+1이 36의 약수" 라는 조건과 같다는 것 — 이 한 줄로 문제 전체가 36의 약수 찾기로 바뀝니다.
나누는 식 세우기
빈 걸이 35 - c 개를 c+1 묶음으로 나누면 한 묶음 크기는 k = (35 - c)/(c + 1), 1 이상 자연수여야 합니다.
빈 걸이를 "똑같은 묶음으로 나누는" 일은 쿠키를 접시 위에 똑같이 나눠 담는 3학년 나눗셈의 의미 그대로입니다.
3.OA.B.6Draw A Diagram확인할 값 나열하기
c 를 작은 쪽부터 나열해 (35 - c) ÷ (c + 1)을 계산. c + (c+1) ≤ 35 이므로 c 는 최대 17 까지.
후보를 작은 순서대로 빠짐없이 늘어놓는 것이 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 출발점이자 4학년 다단계 문장제의 기본기입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List값마다 확인하기
각 c 에서 (35 - c) ÷ (c + 1)이 자연수면 성공. 성공하는 값은 c = 1, 2, 3, 5, 8, 11, 17.
"이 수가 저 수의 약수인가?" 하나하나 확인하는 일은 4학년 약수·배수 그대로의 작업입니다.
4.OA.B.4Guess And Check식 바꿔 규칙 찾기
35 - c = 36 - (c + 1) 이므로 몫은 36/(c+1) - 1. c + 1이 36의 약수일 때만 자연수입니다.
문제 전체가 결국 "36의 약수 짝 찾기" 라는 것을 알아채는 순간, 4학년 약수 단원의 일이 됩니다.
간격 크기 k=(35-c)/(c+1) 은 c+1 이 36 의 약수일 때에만 정수가 된다.
▸ 왜?
이 분수는 (35-c)/(c+1)=36/(c+1)-1 로 다시 쓸 수 있어, 문제는 36/(c+1) 이 정수인지로 바뀐다.
▸ 왜?
분자는 35-c=36-(c+1) 로 이름을 바꿀 수 있는데, 36 이 c+1 과 35-c 두 부분으로 남김없이 나뉘기 때문이다.
▸ 왜?
그 차를 c+1 로 나누는 것은 조각별로 할 수 있다: (36-(c+1))/(c+1)=36/(c+1)-(c+1)/(c+1)=36/(c+1)-1.
▸ 왜?
정수 1 을 빼는 것은 다시 1 을 더해 되돌릴 수 있으므로, 36/(c+1)-1 은 36/(c+1) 이 정수일 때에만 정수이다.
▸ 왜?
36/(c+1) 은 c+1 이 36 을 그만큼의 같은 크기 정수 묶음으로 나눌 때에만 정수인데, 이것이 바로 c+1 이 36 을 나눈다는 뜻이다.
되는 값 개수 세기
c + 1 ∈ {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}이면 c ∈ {1, 2, 3, 5, 8, 11, 17}, 7 가지 — 선택지 (D).
조건을 통과한 후보 개수를 세는 것이 "몇 가지인가요?" 질문의 마지막 한 걸음입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "36의 약수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 중학교 대수 없이도 OK!
- 나누는 식 세우기
- 확인할 값 나열하기
- 값마다 확인하기
- 식 바꿔 규칙 찾기
- 되는 값 개수 세기
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