경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2019 · #14
학년 4 number-theorylogic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
요일은 7 일 주기로 돌아가니까 10 일을 건너뛰는 건 결국 10 - 7 = 3 일씩 앞으로 가는 것과 같습니다. 이 "한 번 건너뛸 때마다 +3" 규칙을 알아채는 게 도구 #5(패턴 찾기)의 역할입니다. 다음으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 6 번의 사용 요일을 차례대로 정리하면 어떤 요일이 들어가고 어떤 요일이 빠지는지 한눈에 보입니다. 마지막으로 객관식이고 "일요일 없음" 조건이 다섯 선택지 중 네 개를 깔끔하게 걸러 주므로 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리합니다.
10일마다 요일 이동 구하기
한 주는 7일이라 남는 일수만 요일을 바꿉니다. 10 ÷ 7의 나머지가 3이라 매번 요일이 앞으로 3칸 밀립니다.
4학년 나눗셈의 나머지로부터, 요일이 매번 3 일씩 밀린다는 사실을 바로 얻습니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern사용일 요일 나열하기
첫 요일을 D라 하고, 건너뛸 때마다 3을 더하되 한 주를 넘으면 7을 빼면 D, D+3, D+6, D+2, D+5, D+1이 됩니다.
"+3 후 7을 넘으면 되돌리기" 라는 규칙으로 수의 패턴을 만들어 내는 건 4학년 패턴 만들기 그대로입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List빠진 요일 찾기
여섯 값을 순서대로 모으면 D, D+1, D+2, D+3, D+5, D+6이고, 가능한 일곱 값 {0~6} 중 단 하나 D+4만 빠져 있습니다.
{0,1,2,3,5,6}이 전체 {0,1,2,3,4,5,6} 에서 4만 빠진 모양임을 알아보는 건 3학년 산술 패턴 관찰입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern일요일 제외 조건 쓰기
빠진 요일이 바로 쉬는 일요일이어야 하므로 D+4가 일요일이고, 일요일에서 4칸 거꾸로 세면(토·금·목) D = 수요일입니다.
일요일에서 요일 4 칸을 거꾸로 세는 건 4학년 패턴 따라가기 수준이고, 대수 없이도 충분합니다.
여섯 번의 쿠폰 사용일이 서로 다른 여섯 개의 요일에 떨어지고 그중 어느 것도 일요일이 아니므로, 이 일정이 건너뛰는 단 하나의 요일은 반드시 일요일이어야 하며, 이 사실이 첫 번째 쿠폰 사용 요일을 확정한다.
▸ 왜?
여섯 번의 사용일은 서로 다른 여섯 개의 요일에 떨어지므로, 일곱 개의 요일 중 정확히 하나만 손대지 않은 채 남는다.
▸ 왜?
일곱 개의 요일을 쿠폰을 쓰는 요일들과 쓰지 않는 요일로 나누면, 서로 다른 여섯 개가 쓰이고 7에서 6을 빼면 정확히 하나만 쓰이지 않고 남는다.
▸ 왜?
각 사용일은 바로 앞 사용일보다 3 요일씩 뒤에 있고, 7일 주기의 요일에서 3씩 앞으로 나아가면 무엇도 되풀이되기 전에 서로 다른 여섯 개의 요일에 닿는다.
▸ 왜?
10일은 온전한 한 주에 3일이 남는 것이고, 온전한 한 주는 시작한 요일에서 끝나므로 남는 3일만 요일을 움직인다.
▸ 왜?
요일 이름은 7일 주기로 반복되므로, 꽉 찬 7일이 지나면 같은 요일로 돌아오고 그 온전한 주들은 무시할 수 있다.
▸ 왜?
10은 남김없이 7과 3으로 깔끔하게 갈라지므로, 실제로 요일을 움직이는 부분은 정확히 3이다.
▸ 왜?
만약 처음 여섯 번의 도착 중 둘이 같은 요일이었다면, 그 둘 사이의 3일씩의 도약들이 합쳐져 꽉 찬 주의 정수 배 — 즉 7의 배수 — 를 이루어야 한다. 그런데 그 3일 도약 뭉치의 소인수는 3들과 도약의 개수뿐이어서 3들 속에는 7이 숨어 있지 않으니, 7은 도약의 개수 자체가 7이 되어야 비로소 나타난다. 처음 여섯 번의 도약은 거기에 이르지 못하므로 여섯 도착은 모두 서로 다르다.
▸ 왜?
건너뛴 요일은 첫 번째 사용일보다 정해진 날수만큼 앞에 있으므로, 그 건너뛴 요일이 일요일임을 알면 그만큼 되짚어 세어 시작 요일에 이른다.
▸ 왜?
쓰이지 않은 요일은 첫 번째 사용일보다 4일 앞에 있으므로, 첫 번째 사용일은 그 요일에서 4일을 거꾸로 센 것이며, 이는 거꾸로 세기가 앞으로 세기를 되돌리기 때문이다.
나머지 선택지 지우기
각 시작 요일을 대입하면 월→금·화→토·목→월·금→화가 빠지고, 일요일을 빠뜨리는 건 수요일뿐이라 (C)입니다.
각 선택지를 규칙에 직접 대입해 확인하는 건 객관식 문제에서 가장 안전한 검산 습관입니다.
4.OA.C.5Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나눗셈의 나머지" 와 "규칙대로 수 만들기" 만 알면 풀 수 있어요!
- 10일마다 요일 이동 구하기
- 사용일 요일 나열하기
- 빠진 요일 찾기
- 일요일 제외 조건 쓰기
- 나머지 선택지 지우기
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