AMC 8 · 2019 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportionsimilar-triangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesratio-proportion

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이가 360 인 △ ABC 안에서, 점 D 는 AD:DC = 1:2 가 되도록 변 AC 위에 놓이고, 점 E 는 BD 의 중점입니다. 직선 AE 를 연장하면 변 BC 와 점 F 에서 만납니다. 이때 작은 삼각형 △ EBF 의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

다섯 개의 점과 세 개의 선분이 얽혀 있어 도구 #1(그림 그리기) 없이는 머릿속이 금세 엉킵니다. 단순히 그리는 데서 한 발 더 나아가 좌표평면 위에 올려 두면, "점 F 가 어디?" 가 추측이 아니라 계산으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "△ EBF 의 넓이" 라는 큰 질문을 세 개의 "같은 높이를 가진 두 삼각형" 비율 문제 — △ ABD 대 △ ABC, △ ABE 대 △ ABD, △ ABF 대 △ ABC — 로 잘게 쪼개 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 직선 AE 가 BC 와 만나는 점을 찾는 단 한 단계에서만 쓰여 BF:FC = 1:3 을 얻어 냅니다. 마지막은 뺄셈 한 번. 메넬라오스 정리는 한 줄로 같은 비율을 주지만 CCSS K-8 범위 밖이라 의도적으로 피했습니다.

1STEP 1

그림을 좌표 위에 올립니다: B = (0, 0), C = (3, 0), A = (0, 3) — 비율은 그대로인 직각삼각형입니다.

B=(0,0), C=(3,0), A=(0,3), 좌표 넓이(△ ABC)=

\frac{9}{2}

2STEP 2

내분점·중점 공식으로 안쪽 두 점을 찍습니다: D = (1, 2), E = ( $\frac{1}{2}$ , 1).

D = A +

\frac{1}{3}

(C - A) = (1, 2), E =

\frac{1}{2}

(B + D) = (

\frac{1}{2}

, 1)

3STEP 3

직선 AE(기울기 -4, 즉 y = 3 - 4x)는 y = 0 인 x 축과 만나 F = ( $\frac{3}{4}$ , 0) 입니다.

y - 3 = -4(x - 0) → y = 3 - 4x → 0 = 3 - 4x → x =

\frac{3}{4}

4STEP 4

x 축에서 BF = $\frac{3}{4}$ , FC = $\frac{9}{4}$ 이므로 BF : FC = 1 : 3, 즉 BF 는 BC 의 $\frac{1}{4}$ 입니다.

\frac{BF}{BC}

\frac{\frac{3}{4}}{3}

\frac{1}{4}

5STEP 5

"같은 높이" 넓이 규칙을 360 에 세 번 적용: [△ ABD] = 120, [△ ABE] = 60, [△ ABF] = 90.

[△ ABD]=

\frac{1}{3}

· 360=120, [△ ABE]=

\frac{1}{2}

· 120=60, [△ ABF]=

\frac{1}{4}

· 360=90

6STEP 6

A, E, F 가 한 직선 위에 있어 [△ EBF] = [△ ABF] - [△ ABE] = 90 - 60 = 30, 답은 (B).

[△ EBF] = 90 - 60 = 30 → (B)

정답

사슬에 등장하는 비율이 모두 360 의 깔끔한 단위분수

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

로 나오고, 마지막은 90 - 60 = 30 으로 (B) 와 정확히 일치합니다. △ EBF 는 점 B 근처의 좁은 쐐기라 전체의

\frac{1}{12}

(

\frac{30}{360}

) 정도가 자연스럽습니다. 확인용으로 원래 그림의 좌표 (B=(0,0), C=(3,0), A=(1.2,1.7)) 에 신발끈 공식을 써 보면 [△ EBF] ≈ 0.2125, [△ ABC] ≈ 2.55 이고

\frac{0.2125}{2.55}

× 360 = 30 으로 정확히 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 일차방정식으로 점 F 위치 하나만 잡으면, 나머지는 6학년 때 배운 "같은 높이 두 삼각형의 넓이비 = 밑변비" 규칙만으로 풀 수 있어요!

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