AMC 8 · 2019 · #25

학년 6 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

combinations-basicsystematic-enumerationlinear-diophantine identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basiclinear-diophantine

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

앨리스는 사과 24개를 자신과 베키, 크리스 세 사람이 모두 나눠 갖되, 누구나 최소 2개씩은 받도록 나누고 싶어 합니다. 24개를 세 사람에게 나누는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

114

(C)

190

(D)

210

(E)

380

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

24를 직접 세 묶음으로 쪼개려면 약 200가지 경우를 손으로 나열해야 해서 너무 많습니다. 그래서 먼저 도구 #16 의 발상으로 "각자 2개 이상" 이라는 조건을 제거합니다 — 세 사람에게 2개씩 미리 주고 나면 남은 18개는 아무 조건 없이 나눠 가지면 되는, 더 쉬운 문제가 됩니다. 그 다음 도구 #9 로 18 대신 아주 작은 합 (N = 0, 1, 2, 3, …) 부터 시작해, 도구 #2 로 모든 순서쌍을 빠짐없이 나열하고, 도구 #5 로 개수가 어떻게 늘어나는지 패턴 (1, 3, 6, 10, 15, … — 삼각수) 을 잡습니다. 이 패턴은 N = 18 까지 그대로 일반화됩니다.

1STEP 1

세 사람에게 2개씩 먼저 주면 6개가 쓰이고, 남은 18개를 제한 없이 나누면 됩니다.

24 - 2 × 3 = 24 - 6 = 18 개를 제한 없이 분배

2STEP 2

더 쉬운 문제: a+b+c=18, 각 항 ≥0 인 순서쌍 세기 — 먼저 작은 합 N=0,1,2,3,4 부터 다뤄 봅니다.

작은 경우: N=0 → (0,0,0); N=1 → (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1); N=2 → (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).

3STEP 3

각 작은 경우를 정해진 순서로 빠짐없이 나열하면 개수가 1, 3, 6, 10, 15 로 나옵니다.

N=0: 1 가지. N=1: 3 가지. N=2: 6 가지. N=3: 10 가지. N=4: 15 가지.

4STEP 4

이 개수 1, 3, 6, 10, 15 는 삼각수입니다: 합이 N 일 때 가짓수는 $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$ 입니다.

가짓수(N) = (N+1) + N + (N-1) + … + 1 =

\frac{(N+1)(N+2)}{2}

5STEP 5

작은 값에서 공식 확인: $\frac{1·2}{2}=1$ , $\frac{2·3}{2}=3$ , $\frac{3·4}{2}=6$ , $\frac{5·6}{2}=15$ — 모두 일치합니다.

\frac{1 · 2}{2}

\frac{2 · 3}{2}

\frac{3 · 4}{2}

\frac{4 · 5}{2}

\frac{5 · 6}{2}

= 1, 3, 6, 10, 15 ✓

6STEP 6

공식에 N = 18 대입: $\frac{19×20}{2}$ = 190, 즉 (C) — 이것이 원래 문제의 답입니다.

가짓수(18) =

\frac{(18+1)(18+2)}{2}

\frac{19 × 20}{2}

\frac{380}{2}

= 190 → (C)

정답

190

답 190 은 흔한 실수들을 노린 오답 선택지들 사이에 자리합니다 — 210 = C(21, 2) 은 칸막이 개수에서 사람 한 명을 빼지 않은 실수의 결과, 380 = 19 × 20 은 2 로 나누는 단계를 빼먹었을 때 나오는 값입니다. 삼각수

\frac{19 · 20}{2}

= 190 이 정확히 380 의 절반이라는 점도 "(a, b) 짝짓기에서 2 로 나누는 단계" 가 옳게 들어갔다는 좋은 검산이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 식과 패턴만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우를 나열해서 삼각수 패턴을 찾고, 식에 18 을 넣으면 끝!

비슷한 유형 더 풀어보기