AMC 8 · 2019 · #3

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 분수

\frac{15}{11}

\frac{19}{15}

\frac{17}{13}

이 주어집니다. 모두 1 보다 살짝 큰 가분수인데, 이 셋을 작은 수부터 큰 수의 순서로 바르게 나열한 보기를 (A)-(E) 중에서 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{15}{11} < \frac{17}{13} < \frac{19}{15}$

(B)

$\frac{15}{11} < \frac{19}{15} < \frac{17}{13}$

(C)

$\frac{17}{13} < \frac{19}{15} < \frac{15}{11}$

(D)

$\frac{19}{15} < \frac{15}{11} < \frac{17}{13}$

(E)

$\frac{19}{15} < \frac{17}{13} < \frac{15}{11}$

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

가장 먼저 도구 #5(패턴 찾기) 가 발동합니다 — 세 분수 모두 분자가 분모보다 4 만큼 큽니다. 이 패턴을 못 보면 그냥 어려워 보이는 세 분수가 되어 엇갈려 곱하기를 반복해야 합니다. 패턴을 잡으면 도구 #15(다르게 정리하기) 로 각 분수를 1 + $\frac{4}{d}$ 꼴로 다시 써서, 세 번의 "분자·분모 다 다른" 비교를 한 번의 "분자가 같은" 비교로 단순화할 수 있습니다. 작은 분수 부분의 순서가 정해지면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기 (A)-(E) 중 일치하는 것 하나만 남기면 됩니다.

1STEP 1

패턴 포착: 세 분수 모두 분자가 분모보다 정확히 4 만큼 큽니다.

\frac{15}{11}

\frac{19}{15}

\frac{17}{13}

\frac{11+4}{11}

\frac{15+4}{15}

\frac{13+4}{13}

2STEP 2

각 $\frac{d+4}{d}$ 를 1 + $\frac{4}{d}$ 로 쪼개면 세 분수가 모두 1 더하기 작은 조각 $\frac{4}{d}$ 꼴이 됩니다.

\frac{15}{11}

= 1 +

\frac{4}{11}

\frac{19}{15}

= 1 +

\frac{4}{15}

\frac{17}{13}

= 1 +

\frac{4}{13}

3STEP 3

분자가 4 로 같으니 분모가 클수록 조각이 작아 $\frac{4}{15}$ ＜ $\frac{4}{13}$ ＜ $\frac{4}{11}$ 입니다.

\frac{4}{15}

＜

\frac{4}{13}

＜

\frac{4}{11}

4STEP 4

각 항에 1 을 다시 더해도 순서는 그대로라 $\frac{19}{15}$ ＜ $\frac{17}{13}$ ＜ $\frac{15}{11}$ 입니다.

1 +

\frac{4}{15}

＜ 1 +

\frac{4}{13}

＜ 1 +

\frac{4}{11}

⟺

\frac{19}{15}

＜

\frac{17}{13}

＜

\frac{15}{11}

5STEP 5

이 순서는 보기 (E) 와 정확히 일치하고 나머지 보기는 자리가 어긋나 탈락합니다.

\frac{19}{15}

＜

\frac{17}{13}

＜

\frac{15}{11}

→ (E)

정답

\frac{19}{15}

＜

\frac{17}{13}

＜

\frac{15}{11}

소수로 대략 확인하면

\frac{15}{11}

≈ 1.364,

\frac{17}{13}

≈ 1.308,

\frac{19}{15}

≈ 1.267 이고, 정렬하면 1.267 ＜ 1.308 ＜ 1.364 즉

\frac{19}{15}

＜

\frac{17}{13}

＜

\frac{15}{11}

로 (E) 와 정확히 일치합니다. 또 분모 순서 11 ＜ 13 ＜ 15 와 값 순서(분모가 작을수록 값이 큼) 가 "분자가 같으면 분모가 작은 것이 크다" 규칙과 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 크다" 라는 분수 비교 규칙만 알면 풀 수 있어요!

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