AMC 8 · 2020 · #17

학년 6 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

prime-factorizationfactorsdivisor-countcomplementary-countingprime-numbersperfect-squares complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactors

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

2020 의 양의 약수들 중에서, 자기 자신이 다시 약수를 3 개보다 많이 가지는 수가 몇 개인지 세는 문제입니다. 예를 들어 12 는 약수가 1, 2, 3, 4, 6, 12 의 6 개라 조건을 만족하지만, 4 는 약수가 1, 2, 4 의 3 개뿐이라 조건을 만족하지 않습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

2020 의 약수 12 개를 하나씩 "약수의 수가 3 개를 넘는가?" 따져 보면 일이 많습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 질문을 뒤집어, 오히려 "약수가 3 개 이하인 수" 의 개수를 세어 전체 12 에서 빼면 훨씬 깔끔합니다. 약수가 3 개 이하인 수는 구조가 단순해서 — 1, 소수 p, 소수의 제곱 p² 의 세 종류뿐 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 분류별 나열만 하면 빠지거나 겹치는 일 없이 셀 수 있습니다.

1STEP 1

2020 을 소수의 곱으로 쪼개면 2020 = 2² × 5 × 101 입니다.

2020 = 2² × 5 × 101

2STEP 2

약수 개수 규칙 (a+1)(b+1)(c+1) 에 지수 2, 1, 1 을 넣으면 2020 의 약수는 모두 12 개.

약수 총 개수 = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12

3STEP 3

약수가 3 개 이하인 수는 1, 소수, 소수의 제곱 뿐 — 이것이 빼낼 "여집합" 이에요.

분류: 1, p, p²

4STEP 4

2020 의 약수 중 여집합은 1, 소수 2·5·101, 소수의 제곱 4 로 모두 5 개.

1₁ + 2, 5, 101₃ + 4₁ = 5

5STEP 5

전체에서 여집합을 빼면 12 - 5 = 7 — 2020 의 약수 중 약수가 3 개를 넘는 것은 7 개.

12 - 5 = 7 → (B)

정답

2020 의 약수 12 개를 모두 적어 직접 확인해 봅시다 — 1, 2, 4, 5, 10, 20, 101, 202, 404, 505, 1010, 2020. 이 중 약수가 3 개 이하인 수는 1(1개), 2(2개), 5(2개), 101(2개), 4(3개) 의 5 개입니다. 나머지 12 - 5 = 7 개 — 10, 20, 202, 404, 505, 1010, 2020 — 은 모두 약수가 4 개 이상이라 조건을 만족합니다. 답 7 은 (B) 와 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "지수가 있는 수식" 만 알면 풀 수 있어요 — 2020 = 2² × 5 × 101 만 써 두면 나머지는 이미 아는 셈이에요!

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