경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2020 · #17
학년 6 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2020의 약수 12 개를 하나씩 "약수의 수가 3 개를 넘는가?" 따져 보면 일이 많습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집어, 오히려 "약수가 3 개 이하인 수" 의 개수를 세어 전체 12 에서 빼면 훨씬 깔끔합니다. 약수가 3 개 이하인 수는 구조가 단순해서 — 1, 소수 p, 소수의 제곱 p²의 세 종류뿐 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 분류별 나열만 하면 빠지거나 겹치는 일 없이 셀 수 있습니다.
2020을 소인수분해하기
2020을 소수의 곱으로 쪼개면 2020 = 2² × 5 × 101 입니다.
수를 소수의 곱으로 쪼개는 것은 4학년 "소수·합성수와 약수쌍" 의 핵심 동작입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List약수의 개수 세기
약수 개수 규칙 (a+1)(b+1)(c+1)에 지수 2, 1, 1을 넣으면 2020의 약수는 모두 12 개.
2² 같은 자연수 지수를 식 안에서 다루는 것은 6학년 "지수가 있는 수식" 표준입니다.
2020의 양의 정수 약수는 정확히 12개이다.
▸ 왜?
2020 = 2² × 5 × 101이므로, 모든 약수는 2의 거듭제곱(없음, 하나, 또는 둘), 5의 거듭제곱(없음 또는 하나), 101의 거듭제곱(없음 또는 하나)을 골라 만든다. 서로 다른 선택은 서로 다른 약수를 주고 모든 약수는 정확히 한 가지 선택에서 나오므로, 약수를 세는 것은 이 선택의 가짓수를 세는 것과 같다.
▸ 왜?
2의 거듭제곱은 3가지, 5의 거듭제곱은 2가지, 101의 거듭제곱은 2가지이고 세 선택은 서로 독립적으로 이루어지므로, 조합의 수는 3 × 2 × 2 = 12이다.
▸ 왜?
2의 거듭제곱, 5의 거듭제곱, 101의 거듭제곱은 서로 독립적으로 선택된다 — 어느 하나가 다른 선택을 제한하지 않는다 — 따라서 3가지 2의 거듭제곱 각각을 2가지 5의 거듭제곱, 2가지 101의 거듭제곱과 짝지을 수 있고 각 조합은 정확히 한 번 나타난다. 독립적인 선택을 이렇게 결합하면 가짓수는 서로 곱해지므로 3 × 2 × 2가 된다.
약수가 적은 경우 정하기
약수가 3 개 이하인 수는 1, 소수, 소수의 제곱 뿐 — 이것이 빼낼 "여집합" 이에요.
약수 수가 적은 수를 분류하는 데에는 "소수는 약수가 정확히 2개" 라는 4학년 개념이면 충분합니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement제외할 약수 나열하기
2020의 약수 중 여집합은 1, 소수 2·5·101, 소수의 제곱 4로 모두 5 개.
"분류 안에서 소수 순으로" 라는 순서 규칙을 정해 두면 중복도 누락도 없이 셀 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List제외할 경우 빼기
전체에서 여집합을 빼면 12 - 5 = 7 — 2020의 약수 중 약수가 3 개를 넘는 것은 7 개.
"전체 - 안 되는 경우 = 되는 경우" 의 마지막 뺄셈은 4학년 다단계 문장제의 마무리입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "지수가 있는 수식" 만 알면 풀 수 있어요 — 2020 = 2² × 5 × 101만 써 두면 나머지는 이미 아는 셈이에요!
- 2020을 소인수분해하기
- 약수의 개수 세기
- 약수가 적은 경우 정하기
- 제외할 약수 나열하기
- 제외할 경우 빼기
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