경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2020 · #21
학년 5 counting
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
격자 위에서 경로를 세는 문제는 도구 #1(그림 그리기)의 교과서 같은 예시입니다 — 판을 다시 그리고 P 부터 한 줄씩 올라가며 각 흰색 칸에 "여기까지 오는 경로 수" 를 적어 나가면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 자연스럽게 등장하는 이유는, 어떤 칸의 수가 바로 아래 두 대각선 칸 수의 합으로 정해지기 때문입니다 — 가장자리에서 한 쪽이 판 밖으로 떨어지는 점만 빼면 그대로 파스칼의 삼각형 패턴입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "(r, c)에 도달하는 방법의 수" 를 "(r-1, c-1)과 (r-1, c+1)에 도달하는 방법의 수의 합" 이라는 두 개의 더 작은 문제로 깔끔하게 갈라 줍니다.
격자에 좌표 붙이기
열은 왼쪽에서 오른쪽으로 0-7, 행은 아래에서 위로 0-7 번호를 매기면 그림에서 P 는 (0, 5), Q 는 (7, 6) 입니다.
판 위에 행과 열을 매기는 것은 모든 흰색 칸에 좌표 (r, c) 라는 주소를 부여하는 5학년 좌표 격자의 발상 그대로입니다.
5.G.A.1Draw A Diagram세는 규칙 정하기
N(r, c) = 흰칸 (r, c)로 오는 경로 수, 아래 두 대각선의 합: N(r, c) = N(r-1, c-1) + N(r-1, c+1).
"(r, c) 도달" 을 "바로 아래 두 대각선 칸 도달" 이라는 두 작은 문제의 합으로 쪼개는 것은 4학년 "규칙으로 패턴 만들기" 의 핵심 동작입니다.
어떤 흰색 칸에 도달하는 경로의 수는 그 칸의 왼쪽 아래 흰색 이웃 칸에 도달하는 경로의 수와 오른쪽 아래 흰색 이웃 칸에 도달하는 경로의 수를 더한 것과 같다.
▸ 왜?
이 칸에서 끝나는 모든 경로를 마지막 걸음에서 어느 아래쪽 흰색 이웃 칸에서 왔는지에 따라 나눠 보면, 모든 경로는 두 무리 중 정확히 하나에 속하고 빠지는 경로가 없으므로, 전체 수는 두 무리의 수를 더한 것이다.
▸ 왜?
한 걸음은 바로 아래 줄에서만 대각선으로 올라오고 그 줄에서 이 칸에 닿는 흰색 칸은 딱 둘뿐이므로, 다른 곳에서 오는 경로는 없고 한 경로가 둘 다에서 올 수도 없다 — 두 무리는 빈틈도 겹침도 없다.
▸ 왜?
그 두 무리의 수는 각각 대응하는 이웃 칸에 도달하는 경로의 수와 같은데, 이웃을 거쳐 이 칸에 오는 경로는 그 이웃에 도달하는 경로에 정해진 마지막 한 걸음을 덧붙인 것일 뿐이기 때문이다.
▸ 왜?
이웃 칸에 도달하는 각 경로에 같은 마지막 걸음을 덧붙이면 그 이웃을 거쳐 이 칸에 도달하는 경로와 정확히 하나씩 짝지어지므로, 두 모음의 크기는 같다.
처음 몇 줄 채우기
규칙을 위로 적용 - 행 1: 1, 1; 행 2: 1, 2, 1; 행 3: 1, 3, 3 (열 8은 판 밖).
새 숫자는 바로 아래 두 대각선 숫자의 합 — 4학년 때 본 파스칼의 삼각형 패턴 그대로입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern여섯째 줄까지 이어 가기
행 6까지 계속 합산, 가장자리는 한 값만 받음 - 행 4: 4, 6, 3; 행 5: 10, 9; 행 6: 19, 9.
각 흰색 칸 위에 누적합을 직접 적어 두면 진행 상황이 한눈에 보이고, 가장자리 칸은 한 곳에서만 값을 받는 것도 자연스럽게 드러납니다.
4.OA.C.5Draw A DiagramQ에서 두 수 더하기
마무리: N(7, 6) = 19 + 9 = 28, 따라서 P 에서 Q 까지 경로는 28 가지 - 답 (A).
19 + 9 = 28의 마무리 덧셈은 4학년 여러 자리수 덧셈 그대로입니다.
4.NBT.B.4Draw A Diagram이 AMC 8 문제는 사실 5학년 좌표 격자와 4학년 "바로 아래 두 수를 더한다" 는 파스칼의 삼각형 패턴만 알면 풀 수 있어요!
- 격자에 좌표 붙이기
- 세는 규칙 정하기
- 처음 몇 줄 채우기
- 여섯째 줄까지 이어 가기
- Q에서 두 수 더하기
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