경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2023 · #21

학년 5 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

systematic-enumerationcombinations-basicset-partition caseworksystematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicmental-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

알리나에게 1, 2, 3, …, 9이 한 장씩 적힌 카드 아홉 장이 있습니다. 이 카드들을 세 묶음 — 각 묶음에 카드 세 장씩 — 으로 나누되, 세 묶음의 카드 합이 모두 같아야 합니다. 이렇게 나누는 방법의 가짓수를 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지 방법…" 처럼 유한하고 작은 경우의 수를 세는 문제는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 신호입니다. 본격적인 나열에 앞서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (가) 한 묶음의 합이 얼마여야 하는지, (나) 그 합을 만드는 카드 세 장의 조합을 모두 찾기, (다) 그 조합 중 카드를 한 번씩만 쓰는 세 묶음 고르기 — 세 단계로 나눕니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)로 "카드 9는 어느 묶음에든 반드시 들어간다" 라는 사실을 발판으로 삼아 경우를 두 가지로 좁히면, 나머지 묶음은 거의 강제로 결정되기 때문에 답이 작은 수가 됩니다.

1STEP 1

카드 아홉 장 합 구하기

1+9, 2+8, 3+7, 4+6으로 짝지으면 10이 네 쌍, 5가 남아 총합은 45입니다.

1 + 2 + … + 9 = 4 × 10 + 5 = 45

2STEP 2

전체를 셋으로 나누기

묶음의 합이 같으니 각 묶음은 전체의 $\frac{1}{3}$ , 즉 45 ÷ 3 = 15가 각 묶음의 목표 합입니다.

45/3 = 15 ⟹ 한 묶음의 합 = 15

3STEP 3

합 15인 세 장 모두 쓰기

가장 큰 카드부터 내려가며 세면, 합이 15인 서로 다른 묶음은 정확히 일곱 개뿐입니다.

&{1,5,9}, {2,4,9}, ; &{1,6,8}, {2,5,8}, {3,4,8}, ; &{2,6,7}, {3,5,7}

4STEP 4

두 경우로 나누기

카드 9는 반드시 한 묶음에 들어가므로 그 묶음은 {1,5,9} 또는 {2,4,9} — 확인할 경우는 두 가지입니다.

경우 1: {1,5,9} | 경우 2: {2,4,9}

5STEP 5

첫 번째 경우 완성하기

경우 1은 {1,5,9}; 남은 카드로 8을 품는 합-15 묶음은 {3,4,8}뿐, 나머지 {2,6,7} — 분할 하나.

{1,5,9}∪{3,4,8}∪{2,6,7}={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ✓

6STEP 6

두 번째 경우 완성하기

경우 2는 {2,4,9}; 8을 품는 합-15 묶음은 {1,6,8}뿐, 남은 {3,5,7} — 또 하나의 분할.

{2,4,9}∪{1,6,8}∪{3,5,7}={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ✓

7STEP 7

나눈 방법 수 세기

경우마다 분할 하나씩, 9는 한 묶음에만 들어가니 다른 경우는 없어 총 2가지, 정답 (C).

1 + 1 = 2 ⟹ (C)

정답

찾은 두 분할 {1,5,9},{3,4,8},{2,6,7}과 {1,6,8},{2,4,9},{3,5,7}은 공유하는 묶음이 하나도 없으므로 서로 다른 분할입니다. 각 묶음의 합은 모두 15이고, 두 분할 안에서 카드 1부터 9 까지가 각각 한 번씩 등장합니다. 직관적으로도 "합 15 인 카드 세 장 묶음" 자체가 일곱 개뿐이고, 거기서 9의 위치가 정해지는 순간 나머지 묶음이 거의 강제되니까 답이 3 이나 4가 아니라 작은 수 2가 나오는 것이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "규칙으로 경우를 만들어 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 카드 9가 어느 묶음에 들어가는지만 정하면 나머지 묶음은 저절로 정해진답니다!

카드 아홉 장 합 구하기
전체를 셋으로 나누기
합 15인 세 장 모두 쓰기
두 경우로 나누기
첫 번째 경우 완성하기
두 번째 경우 완성하기
나눈 방법 수 세기

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