경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2020 · #8
학년 5 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문장 속에는 작은 문제 세 개가 숨어 있습니다 — (가) 총액의 최댓값 찾기, (나) 총액의 최솟값 찾기, (다) 둘의 차이 구하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 단계를 분리하는 게 자연스럽습니다. 동전 개수를 어떻게 배분해야 최댓값/최솟값이 나오는지 직관이 안 보일 때는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 2020 대신 5 개짜리 작은 버전을 먼저 풀어 보면 "한 종류는 딱 1 개만 두고 나머지를 비싼(또는 싼) 동전으로 채운다" 는 규칙이 한눈에 드러납니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 이웃한 배분(예: 페니 2 개, 니켈 2018 개)과 비교해 "한 자리 바꾸면 정확히 4 센트 차이" 를 확인하면 됩니다.
가장 큰 금액 만들기
더 쉬운 5개 버전으로 보면 최댓값은 페니 1개·나머지 니켈 — 2020개면 10096 센트.
2019 × 5 같은 여러 자리 곱셈은 5학년에서 익히는 "여러 자리 자연수의 곱셈" 입니다.
가장 큰 총액은 페니를 딱 하나만 남기고 나머지 동전을 모두 니켈로 만들 때 나온다.
▸ 왜?
니켈은 페니보다 총액에 더 많이 보태므로, 어떤 동전이든 페니를 니켈로 바꾸면 총액은 항상 커진다; 규칙이 남기라고 강제하는 페니 하나만 빼고 모든 동전을 니켈로 쓸 때 총액이 가장 커진다.
▸ 왜?
총액은 각 동전의 값을 따로따로 모두 더해 구하므로, 동전 하나를 페니에서 니켈로 바꾸면 그 동전 하나의 증가분만큼만 총액이 올라가고 다른 것은 움직이지 않는다.
▸ 왜?
전체 금액은 모든 동전의 값을 하나도 빠뜨리거나 두 번 세지 않고 전부 더해서 얻는다.
▸ 왜?
동전 하나가 1센트 페니에서 5센트 니켈로 바뀌면 5 빼기 1, 즉 4센트만큼 더 값나가는데, 4는 바로 페니 값에 더해야 니켈 값이 되는 수이기 때문이다.
▸ 왜?
2020개의 동전은 겹침 없이 남기는 페니와 만드는 니켈로 나뉘고, 규칙이 페니를 적어도 하나 남기라고 강제하므로 니켈로 바꿀 수 있는 동전은 그 하나를 뺀 나머지, 곧 2020 빼기 1이 최대다.
가장 작은 금액 만들기
최솟값도 같은 논리 — 니켈 1개·나머지 2019개 페니로 2024 센트.
최댓값에 이어 최솟값을 따로 구하는 두 번째 소문제 — 사칙연산을 쓰는 4학년 다단계 문장제와 같은 결입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems이웃한 경우로 확인하기
이웃 배분(페니 2개·니켈 2018개)은 10092 — 4 센트 작아, 한 자리 교체마다 4센트 차이임을 확인.
두 큰 수의 차이를 빠르게 빼 보는 작업이라 4학년 여러 자리 뺄셈 표준에 정확히 들어맞습니다.
4.NBT.B.4Guess And Check두 금액 빼기
진짜 묻는 것은 차이 — 최댓값에서 최솟값을 빼면 10096 − 2024 = 8072.
여러 자리 자연수의 뺄셈이라 4학년 표준 그대로입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems선택지와 맞춰 보기
구한 값 8072를 선택지에서 찾으면 (C).
계산 결과를 선택지에 맞춰 고르는 것은 모든 다단계 문장제의 마무리 단계(4학년)입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "여러 자리 자연수의 곱셈" 과 4학년 다단계 문장제 사고만 알면 풀 수 있어요!
- 가장 큰 금액 만들기
- 가장 작은 금액 만들기
- 이웃한 경우로 확인하기
- 두 금액 빼기
- 선택지와 맞춰 보기
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