AMC 8 · 2020 · #8

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

multi-digit-arithmeticmental-arithmetic identify-subproblemsbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

리카르도는 페니(1 센트짜리)와 니켈(5 센트짜리)을 모아 정확히 2020 개의 동전을 가지고 있고, 두 종류 모두 최소 한 개씩은 가지고 있습니다. 이때 가능한 총 금액(센트 단위)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{806}$

(B)

$text{8068}$

(C)

$text{8072}$

(D)

$text{8076}$

(E)

$text{8082}$

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 문장 속에는 작은 문제 세 개가 숨어 있습니다 — (가) 총액의 최댓값 찾기, (나) 총액의 최솟값 찾기, (다) 둘의 차이 구하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계를 분리하는 게 자연스럽습니다. 동전 개수를 어떻게 배분해야 최댓값/최솟값이 나오는지 직관이 안 보일 때는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 2020 대신 5 개짜리 작은 버전을 먼저 풀어 보면 "한 종류는 딱 1 개만 두고 나머지를 비싼(또는 싼) 동전으로 채운다" 는 규칙이 한눈에 드러납니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 이웃한 배분(예: 페니 2 개, 니켈 2018 개)과 비교해 "한 자리 바꾸면 정확히 4 센트 차이" 를 확인하면 됩니다.

1STEP 1

더 쉬운 5개 버전으로 보면 최댓값은 페니 1개·나머지 니켈 — 2020개면 10096 센트.

최댓값 = 1 × 1 + 2019 × 5 = 1 + 10095 = 10096 센트

2STEP 2

최솟값도 같은 논리 — 니켈 1개·나머지 2019개 페니로 2024 센트.

최솟값 = 2019 × 1 + 1 × 5 = 2019 + 5 = 2024 센트

3STEP 3

이웃 배분(페니 2개·니켈 2018개)은 10092 — 4 센트 작아, 한 자리 교체마다 4센트 차이임을 확인.

10096 - 10092 = 4 센트 (한 자리 교체 비용)

4STEP 4

진짜 묻는 것은 차이 — 최댓값에서 최솟값을 빼면 10096 − 2024 = 8072.

10096 - 2024 = 8072 센트

5STEP 5

구한 값 8072를 선택지에서 찾으면 (C).

차이 = 8072 → (C)

정답

text{8072}

지름길로 한 번 더 검산해 봅시다. 최솟값 배분(페니 2019, 니켈 1)에서 최댓값 배분(페니 1, 니켈 2019)으로 옮겨 갈 때 2018 개의 동전이 페니에서 니켈로 바뀌고, 한 번 바뀔 때마다 5 - 1 = 4 센트가 늘어납니다. 따라서 차이는 2018 × 4 = 8072 센트여야 하고, 직접 뺄셈한 값과 일치합니다. 크기 자체도 8000 부근으로 선택지 범위와 잘 맞고, 4 의 배수라는 점도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "여러 자리 자연수의 곱셈" 과 4학년 다단계 문장제 사고만 알면 풀 수 있어요!

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