AMC 8 · 2022 · #1

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

area-rectanglesarea-trianglesspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

수학팀이 디자인한 로고는 1 인치 격자 위에 그려진 곱셈 기호(×) 모양입니다. 색칠된 영역은 꼭짓점 (1,2),(2,1),(3,2),(4,1),(5,2),(4,3),(5,4),(4,5),(3,4),(2,5),(1,4),(2,3) 을 차례로 잇는 다각형입니다. 이 로고의 넓이를 제곱인치 단위로 구하고, 10, 12, 13, 14, 15 중에서 답을 골라야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

× 모양은 직접 재기 까다롭지만, 깔끔한 4 × 4 경계 상자 안에 딱 갇혀 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 (1) 4 × 4 상자 넓이와 (2) 로고를 둘러싼 흰색 삼각형 조각들의 넓이로 두 조각으로 나누면 쉽습니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 흰 삼각형들을 그림 위에 표시하는 데 쓰고, 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합) 은 색칠된 부분을 직접 세는 대신 상자 전체에서 흰 부분을 빼는 전략의 이름입니다.

1STEP 1

로고를 감싸는 가장 작은 격자 정사각형((1,1)~(5,5))을 그리면 넓이는 4 × 4 = 16 in².

상자 넓이 = 4 × 4 = 16 in²

2STEP 2

상자의 각 모퉁이에서 윤곽선이 다리 1인 직각삼각형을 잘라 내니, 넓이는 $\frac{1}{2}$ × 1 × 1 = $\frac{1}{2}$ in².

모퉁이 삼각형 =

\frac{1}{2}

× 1 × 1 =

\frac{1}{2}

in²

3STEP 3

각 변 한가운데의 더 큰 삼각형(예: (2,1),(4,1),(3,2))은 밑변 2, 높이 1이라 넓이가 $\frac{1}{2}$ × 2 × 1 = 1 in².

변 삼각형 =

\frac{1}{2}

× 2 × 1 = 1 in²

4STEP 4

흰 공간을 모두 더하면 모퉁이 삼각형 4개와 변 삼각형 4개, 4 × $\frac{1}{2}$ + 4 × 1 = 6 in².

흰색 합계 = 4 ×

\frac{1}{2}

+ 4 × 1 = 2 + 4 = 6 in²

5STEP 5

상자 넓이에서 흰 공간을 빼면 16 - 6 = 10 in² → (A).

로고 넓이 = 16 - 6 = 10 in² → (A)

정답

대칭으로 다시 확인해 봅시다. 로고는 가운데 마름모 하나와 똑같이 생긴 네 개의 "팔" 로 이루어져 있습니다. 가운데 마름모는 꼭짓점이 (2,3),(3,2),(4,3),(3,4) 인 대각선 2 의 정사각형이라 넓이가

\frac{1}{2}

× 2 × 2 = 2 in² 입니다. 각 팔(예: 오른쪽 팔의 꼭짓점 (3,2),(4,1),(5,2),(4,3)) 도 같은 방식의 정사각형으로 넓이 2 in² 입니다. 총합 = 2 + 4 × 2 = 10 in² 로 답 (A) 와 정확히 일치하고, 16 in² 인 상자 안에 들어가는 적당한 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "도형을 삼각형·사각형으로 쪼개서 넓이 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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