AMC 8 · 2022 · #14

학년 3 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

permutations-basicsystematic-enumerationcombinations-basic identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

BEEKEEPER 라는 단어는 글자 9 개로 이루어져 있고, 그 안에는 E 가 5 개, 그리고 서로 다른 글자 B, K, P, R 이 각각 하나씩 들어 있습니다. 9 개의 글자를 모두 한 줄로 늘어놓을 때, 어떤 E 두 개도 서로 이웃하지 않게 배열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

120

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

"두 E 가 이웃하지 않게" 라는 조건을 정면으로 부수기는 까다롭지만, E 를 먼저 사이를 띄워 늘어놓는 그림 — E _ E _ E _ E _ E — 을 그려 보면 한눈에 풀립니다. 도구 #1(그림 그리기) 이 구조를 드러내 줘서, 빈칸이 정확히 4 개이고 E 가 아닌 글자도 정확히 4 개라는 사실이 바로 보입니다. 그러면 문제는 "B, K, P, R 을 4 칸에 늘어놓는 경우의 수" 로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 이 분해 — (가) E 뼈대 고정, (나) 서로 다른 4 글자 배열 — 에 이름을 붙여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 검산용으로, BEE 같은 더 짧은 단어로 빈칸 셈이 맞는지 먼저 확인합니다.

1STEP 1

BEEKEEPER 에는 E 가 5 개, 다른 글자 B, K, P, R 이 넷 — 모두 9 글자. 제약은 E 끼리뿐이라 E 를 먼저 봅니다.

5 개의 E + 4 개의 다른 글자 = 9 글자

2STEP 2

작은 단어 BEE 로 시험: E _ E 는 빈칸 1 개, B 를 넣으면 EBE 뿐 — 1 가지. 빈칸 전략이 맞습니다.

BEE → E _ E → EBE (1 가지)

3STEP 3

E 를 띄워 그리면 E _ E _ E _ E _ E. E 5 개 사이 빈칸은 정확히 4 개, 칸마다 글자를 넣으면 두 E 가 안 붙습니다.

5 개의 E → 5 - 1 = 4 개의 사이 빈칸

4STEP 4

서로 다른 네 글자 B, K, P, R 이 4 빈칸 과 일대일 대응 — 이제 네 글자를 늘어놓는 순서만 세면 됩니다.

4 글자 ⇔ 4 빈칸

5STEP 5

순서를 셉니다: 첫 칸 4 가지, 다음 3, 2, 1 — 곱하면 4 × 3 × 2 × 1 = 24, 답은 (D).

4 × 3 × 2 × 1 = 24 → (D)

정답

BEEKEEPER 의 모든 (제약 없는) 서로 다른 배열의 수는

\frac{9!}{5!}

= 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 가지입니다. 24 는 그중 아주 작은 비율인데, 9 자리 중 5 자리가 E 라서 거의 모든 배열에서 E 가 어딘가 붙게 되니 "두 E 가 절대 안 붙는" 배열이 드문 것은 자연스럽습니다. 또 답이 정확히 4! = 24 인 것도 "E 뼈대는 한 가지로 고정되고 서로 다른 4 글자만 자유롭게 자리바꿈한다" 는 우리 그림과 정확히 들어맞습니다. 선택지 (E) 120 = 5! 은 빈칸이 5 개일 때나 나올 값인데 우리는 4 개이므로 (D) 24 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3 학년 때 배운 곱셈 4 × 3 × 2 × 1 = 24 만 알면 풀 수 있어요 — E_E_E_E_E 그림만 한 번 그리면, 남는 일은 4 칸에 글자 4 개를 늘어놓는 것뿐이에요!

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