경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #17
학년 4 arithmeticnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
항이 1011 개나 되고 마지막 2022!! 는 어마어마하게 큰 수라 직접 계산은 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 일단 앞쪽 이중 계승 몇 개만 손으로 구해 보고 일의 자리에서 무슨 일이 일어나는지 관찰합니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기)가 빛을 발합니다 — 10!! 부터 일의 자리가 0이 되고, 그 뒤로 모든 n!! (n ≥ 10)은 인수에 10이 들어가므로 일의 자리가 모두 0 이라는 사실이 보입니다. 결국 영향력 있는 항은 처음 네 개 (2!!, 4!!, 6!!, 8!!) 뿐이고, 문제는 한 줄짜리 덧셈으로 줄어듭니다.
처음 몇 항 계산하기
이중 계승을 앞에서부터 짝수를 하나씩 더 곱해 갑니다: 2, 8, 48, 384.
48 같은 두 자리 수에 8 같은 한 자리 수를 곱하는 것은 4학년 다자릿수 × 한 자릿수 곱셈 그대로입니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem일의 자리 숫자 모으기
일의 자리만 뽑으면 2, 8, 8, 4, 이어서 10!! = 384 · 10 = 3840 은 0으로 끝납니다.
10을 곱하면 끝에 0이 하나 붙는다는 사실은 3학년 "산술 패턴 찾기" 수준의 관찰입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern10이 곱해짐을 알아채기
n ≥ 10 인 짝수는 모두 10을 인수로 가지므로 10!! 부터 2022!! 까지 전부 일의 자리가 0.
"인수에 10이 있으면 일의 자리는 0" 이라는 3학년 곱셈 규칙 하나로 수천 개의 항이 한꺼번에 사라집니다.
10 이상의 모든 짝수 n에 대해, 이중 계승 n!! = 2 · 4 · 6 · 8 · 10 … n의 일의 자리는 0이다.
▸ 왜?
n!!은 어떤 자연수에 10을 곱한 값이고, 어떤 자연수든 10을 곱하면 일의 자리가 0이 된다.
▸ 왜?
n이 10에 이르면 곱의 인수 목록 2 · 4 · 6 · 8 · 10 … n 안에 10이 들어 있으므로, n!!은 (나머지 짝수 인수들의 곱) × 10으로 쓸 수 있다.
▸ 왜?
인수들의 순서를 바꾸고 다시 묶어 × 10을 마지막에 하더라도 곱은 똑같으므로, 10을 맨 뒤로 빼내는 것이 허용된다.
▸ 왜?
자연수에 10을 곱하면 각 자리 숫자가 한 자리씩 위로 올라가고 일의 자리에 0이 남으므로, 결과의 일의 자리는 0이 된다.
남은 네 항 더하기
0은 더해도 그대로라 결국 2!! + 4!! + 6!! + 8!! 만 중요합니다: 2 + 8 + 8 + 4 = 22, 그 일의 자리가 답.
한 자리 수 네 개를 더해 일의 자리만 읽는 것은 2학년 덧셈 유창성 수준 — 어려운 일은 패턴 쪽에서 이미 다 끝났습니다.
2.NBT.B.5Look For A Pattern이 AMC 8 문제는 사실 4학년 곱셈과 "10을 곱하면 일의 자리는 0" 이라는 패턴 하나만 알면 풀 수 있어요!
- 처음 몇 항 계산하기
- 일의 자리 숫자 모으기
- 10이 곱해짐을 알아채기
- 남은 네 항 더하기
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