AMC 8 · 2022 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

mean-median-mode-rangegraph-readingsystematic-enumeration caseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangegraph-reading

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

라모스 선생님 반 학생 20명의 시험 점수가 점도표에 그려져 있습니다. 채점 오류를 발견한 선생님이 일부 학생에게 5점을 더해 주었더니 중앙값이 85점으로 올라갔습니다. 보너스 5점을 받은 학생 수가 최소 몇 명이어야 이런 변화가 가능한지 묻는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

점도표 자료가 20개로 크지 않아 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 점수를 오름차순으로 펼쳐 적으면 10번째와 11번째 자리가 한눈에 보입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 "학생을 누구로 정할까?" 라는 큰 질문을 "최종 20개 점수 중 몇 개가 85점 이상이어야 할까?" 라는 작은 질문으로 바꿉니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 3명이면 부족하고 4명이면 충분함을 직접 확인해 최솟값을 못박습니다.

1STEP 1

점도표 개수대로 20개 점수를 오름차순으로 적으면 중앙값을 정하는 10번째·11번째 자리가 바로 보입니다.

65, 65₁-2, 70, 70₃-4, 75, 75, 75, 75₅-8, 80, 80, 80, 80, 80₉-13, 85, 85₁4-15, 90, 90, 90₁6-18, 95, 100

2STEP 2

20개 자료의 중앙값은 10번째·11번째의 평균인데 둘 다 80이라 원래 중앙값은 80, 목표 85보다 낮습니다.

원 중앙값 =

\frac{80 + 80}{2}

= 80

3STEP 3

도구 #9: 중앙값 85가 되려면 가운데 두 자리 모두 85여야 해 85 이상이 10개 필요한데 지금 7개뿐, 3개 더 필요합니다.

이미 ≥ 85 인 점수: 2 + 3 + 1 + 1 = 7, 필요 추가: 10 - 7 = 3

4STEP 4

5를 더해도 65·70·75는 70·75·80으로 여전히 85 미만이고, 오직 80만 85가 되니 유효한 보너스는 모두 80점 학생 몫입니다.

80 + 5 = 85 ✓, 75 + 5 = 80 ＜ 85, 70 + 5 = 75 ＜ 85, 65 + 5 = 70 ＜ 85

5STEP 5

3명 먼저 확인: 80점 3명이 85가 되어도 10번째에 80이 남고 11번째가 85라 중앙값은 82.5, 3명으론 부족합니다.

3명에게 줄 때: 10번째 = 80, 11번째 = 85 → 중앙값 =

\frac{80+85}{2}

= 82.5

6STEP 6

4명으로 시도: 80점 4명이 85가 되면 10·11번째가 모두 85라 중앙값이 정확히 85 — 3명은 안 되니 최솟값은 4, 즉 (C).

4명에게 줄 때: 10번째 = 11번째 = 85 → 중앙값 =

\frac{85+85}{2}

= 85 → (C)

정답

답 4 는 선택지의 가운데에 위치하며 "되는 가장 작은 값" 임이 분명합니다. 3명이면 중앙값이 82.5 로 모자라고, 4명이면 정확히 85, 5 또는 6 명이어도 작동은 하지만 낭비입니다. 또 80 점 학생은 5 명뿐이므로 답이 5 를 넘을 수 없는데 4 ≤ 5 라 모순도 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 점도표 읽기와 중앙값 정의만 알면 풀 수 있어요!

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