AMC 8 · 2022 · #21

학년 7 algebrarate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

percentageratio-proportionsystems-of-equations bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

스테프와 캔디스가 한 경기를 전반·후반으로 나누어 뛰었습니다. 스테프는 전반전에 20 개 중 15 개, 후반전에 10 개 중 10 개를 성공시켰습니다. 캔디스는 전반전에 12 개를 시도해 x 개, 후반전에 18 개를 시도해 y 개를 성공시켰습니다. 각 하프에서 스테프의 성공률이 캔디스보다 엄격히 높았지만, 전체 성공률은 둘이 똑같았습니다. 캔디스가 후반전에 전반전보다 몇 개를 더 넣었는지, 즉 y - x 의 값을 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

두 미지수 x, y 가 하나의 방정식(전체 성공률이 같음)과 두 개의 부등식(하프별 비교)으로 묶여 있는, 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적인 상황입니다. 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)로 데이터를 2 × 3 표에 정리하면 "두 선수 모두 총 30 회 시도"라는 핵심이 한눈에 보이고, 이 사실 덕분에 "성공률이 같다" 가 곧바로 깔끔한 방정식 x + y = 25 로 바뀝니다. 마지막엔 도구 #3(가능성 지우기)으로 한쪽 부등식의 x ≤ 8 과 다른 쪽에서 유도되는 x ≥ 8 을 결합해 가능한 정수 쌍을 단 하나로 좁힙니다.

1STEP 1

슛 데이터를 2×3 표로 정리하면 핵심이 보입니다 — 두 선수 모두 시도 합계가 같은 30 (20+10 = 12+18).

20 + 10 = 30, 12 + 18 = 30

2STEP 2

분모가 같으니 전체 성공률이 같으면 분자도 같아야 하므로 x + y = 25.

\frac{25}{30}

\frac{x+y}{30}

⟹ x + y = 25

3STEP 3

하프별 엄격한 비교를 부등식으로: $\frac{x}{12}$ ＜ $\frac{3}{4}$ → x ≤ 8, $\frac{y}{18}$ ＜ 1 → y ≤ 17.

\frac{x}{12}

＜

\frac{3}{4}

→ x ＜ 9 → x ≤ 8

\frac{y}{18}

＜ 1 → y ＜ 18 → y ≤ 17

4STEP 4

x + y = 25 와 y ≤ 17 에서 x ≥ 8, 여기에 x ≤ 8 이 겹쳐 x = 8, y = 17 로 확정됩니다.

x ≥ 8 이고 x ≤ 8 → x = 8, y = 17

5STEP 5

문제가 원하는 값은 y - x, 그래서 빼면 y - x = 9 — 정답 (C).

y - x = 17 - 8 = 9 → (C)

정답

(x, y) = (8, 17) 로 시나리오를 확인해 봅니다. 전반전 캔디스

\frac{8}{12}

≈ 66.7% vs 스테프 75% — 스테프가 더 높음 (조건 만족). 후반전 캔디스

\frac{17}{18}

≈ 94.4% vs 스테프 100% — 역시 스테프가 더 높음 (조건 만족). 전체 캔디스

\frac{25}{30}

≈ 83.3% vs 스테프

\frac{25}{30}

— 같음 (조건 만족). 모든 조건이 들어맞고, 답 9 는 선택지 (C) 와 일치하며, 7 부터 11 까지의 보기 중에서 한가운데 값이라 극단치 경고도 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "방정식 + 부등식 세우기" 만 알면 풀 수 있어요 — 두 개의 부등식으로 답을 살짝 좁혀 보세요!

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