AMC 8 · 2022 · #22

학년 5 rate-ratiologic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratepattern-recognitionlogical-deduction physical-representationcasework ↑ 선수 지식: ratelogical-deduction

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

버스는 0번 정류장에, 지아는 3번 정류장에 t=0 에 동시에 서서 도서관 쪽으로 출발합니다. 버스는 한 정류장에서 다음 정류장까지 2 분간 달리고 각 정류장에서 1 분간 정차합니다. 지아는 한 정류장에서 다음 정류장까지 걸어가는 데 5 분이 걸립니다. 지아는 새 정류장에 도착할 때마다 뒤를 돌아봐서, 바로 뒤 정류장에 버스가 이미 도착했거나 떠난 상태라면 그 자리에서 기다리고, 그렇지 않으면 다음 정류장으로 계속 걸어갑니다. 지아가 처음으로 버스에 타게 되는 것은 t=0 으로부터 몇 분 뒤일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

버스의 움직임은 매우 규칙적입니다 — k 번 정류장을 떠나는 시각이 정확히 t = 3k 분 (k ≥ 1, k=0 일 때는 t=0) 이고, 도착 시각은 t = 3k - 1 입니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 시각과 위치를 작은 표에 적어 두면, 두 사람을 머릿속에서만 추적할 때 생기는 실수를 피할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 정류장을 점 한 줄로 외부화해서 "이전 정류장" 을 시각적으로 분명하게 만들어 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기) 는 t = 3k 라는 버스 시각표를 발견하는 데 쓰입니다. 도구 #13(대수) 은 일부러 피했습니다 — AMC 8 시뮬레이션 문제는 네 줄짜리 표 한 장이 부등식보다 훨씬 빠르고 안전합니다.

1STEP 1

패턴을 봅니다: '2분 운행+1분 정차'가 한 주기 3분이라, 버스는 k번을 t = 3k에 떠나고 도착은 1분 빠른 3k - 1입니다.

k 번 도착: t = 3k - 1 ; k 번 출발: t = 3k

2STEP 2

정류장을 점 한 줄 0,1,2,3,…로 그리고 버스는 0번, 지아는 3번에 두면 '이전 정류장'이 바로 지아 왼쪽 점이 됩니다.

●_버스, 0 ●₁ ●₂ ●_지아, 3 ●₄ ●₅ ●₆ …

3STEP 3

한 줄씩: 지아 도착 3,4,5,6번 = t=0,5,10,15분, 버스는 뒤 정류장을 6,9,12,15분에 떠나 처음 기다리는 곳은 6번.

지아 위치 k & 도착 시각 t & 버스가 k-1 번 떠나는 시각 3(k-1) & 결정 ; 3 & 0 & 6 & 0 ＜ 6 → 걷기 ; 4 & 5 & 9 & 5 ＜ 9 → 걷기 ; 5 & 10 & 12 & 10 ＜ 12 → 걷기 ; 6 & 15 & 15 & 15 ≥ 15 → 기다림

4STEP 4

지아는 t = 15분부터 6번에서 기다립니다. 버스는 15분에 5번을 떠나 2분 달려 15 + 2 = 17분에 도착 — 이때 탑승.

15 + 2 = 17 분 → (A)

정답

걷는 속도와 버스 평균 속도 비교: 지아는 한 정류장에 5 분, 버스는 평균 3 분이 걸리니, 평균적으로 버스가

\frac{5}{3}

배 빠릅니다. 지아가 끝까지 걷기만 한다면 3 정류장 차이를 메우는 데 대략

\frac{3 × 5}{5-3}

= 7.5 정류장 시간 ≈ 37 분이 걸리겠지만, 지아가 "멈춰서 기다리는" 선택을 하기 때문에 만남이 훨씬 빨라집니다. 답 17 분은 선택지 17, 19, 20, 21, 23 중 가장 짧은 쪽에 있어, "계속 걷는 것보다 기다리는 게 빠르다" 는 직관과 잘 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "두 가지 수 패턴을 나란히 놓고 비교하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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