경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2022 · #22

학년 5 rate-ratiologic

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratepattern-recognitionlogical-deduction physical-representationcasework ↑ 선수 지식: ratelogical-deduction

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

버스는 0번 정류장에, 지아는 3번 정류장에 t=0에 동시에 서서 도서관 쪽으로 출발합니다. 버스는 한 정류장에서 다음 정류장까지 2 분간 달리고 각 정류장에서 1 분간 정차합니다. 지아는 한 정류장에서 다음 정류장까지 걸어가는 데 5 분이 걸립니다. 지아는 새 정류장에 도착할 때마다 뒤를 돌아봐서, 바로 뒤 정류장에 버스가 이미 도착했거나 떠난 상태라면 그 자리에서 기다리고, 그렇지 않으면 다음 정류장으로 계속 걸어갑니다. 지아가 처음으로 버스에 타게 되는 것은 t=0 으로부터 몇 분 뒤일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

버스의 움직임은 매우 규칙적입니다 — k 번 정류장을 떠나는 시각이 정확히 t = 3k 분 (k ≥ 1, k=0 일 때는 t=0)이고, 도착 시각은 t = 3k - 1입니다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 시각과 위치를 작은 표에 적어 두면, 두 사람을 머릿속에서만 추적할 때 생기는 실수를 피할 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)은 정류장을 점 한 줄로 외부화해서 "이전 정류장" 을 시각적으로 분명하게 만들어 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 t = 3k 라는 버스 시각표를 발견하는 데 쓰입니다. 도구 #13(대수)은 일부러 피했습니다 — AMC 8 시뮬레이션 문제는 네 줄짜리 표 한 장이 부등식보다 훨씬 빠르고 안전합니다.

1STEP 1

버스 시각 규칙 찾기

패턴을 봅니다: '2분 운행+1분 정차'가 한 주기 3분이라, 버스는 k번을 t = 3k에 떠나고 도착은 1분 빠른 3k - 1입니다.

k 번 도착: t = 3k - 1 ; k 번 출발: t = 3k

2STEP 2

정류장 한 줄로 그리기

정류장을 점 한 줄 0,1,2,3,…로 그리고 버스는 0번, 지아는 3번에 두면 '이전 정류장'이 바로 지아 왼쪽 점이 됩니다.

●_버스, 0 ●₁ ●₂ ●_지아, 3 ●₄ ●₅ ●₆ …

3STEP 3

걷는 경우 나열하기

한 줄씩: 지아 도착 3,4,5,6번 = t=0,5,10,15분, 버스는 뒤 정류장을 6,9,12,15분에 떠나 처음 기다리는 곳은 6번.

지아 위치 k & 도착 시각 t & 버스가 k-1 번 떠나는 시각 3(k-1) & 결정 ; 3 & 0 & 6 & 0 ＜ 6 → 걷기 ; 4 & 5 & 9 & 5 ＜ 9 → 걷기 ; 5 & 10 & 12 & 10 ＜ 12 → 걷기 ; 6 & 15 & 15 & 15 ≥ 15 → 기다림

지아의 도착 시각 패턴 0,5,10,15과 버스의 "바로 뒤 정류장 출발 시각" 패턴 6,9,12,15을 나란히 비교해 처음으로 조건이 만족되는 지점을 찾는 것은 5학년 "두 수 패턴 만들고 관계 보기" 표준입니다.

지아는 3, 4, 5번 정류장을 지나 계속 걷다가, 자신이 도착하는 순간 버스가 바로 뒤 정류장을 떠나는 6번 정류장에서 처음으로 멈춰 기다린다.

▸ 왜?

그녀의 도착 시각 0, 5, 10, 15를 버스가 바로 뒤 정류장을 떠나는 시각 6, 9, 12, 15와 한 줄씩 나란히 놓고 보면, 3, 4, 5번 정류장에서는 그녀가 버스보다 먼저 도착해 계속 걷지만, 6번 정류장에서 두 시각이 처음으로 같아지므로 바로 그곳에서 기다림 규칙이 처음 충족된다.

▸ 왜?

지아가 3, 4, 5, 6번 정류장에 도착하는 시각이 0, 5, 10, 15인 까닭은 한 정류장을 더 걸을 때마다 똑같이 5분이 더해지기 때문이며, 그래서 n개 정류장을 걷는 데 5n분이 걸린다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

버스가 그녀 바로 뒤 정류장을 떠나는 시각이 6, 9, 12, 15인 까닭은 앞선 각 정류장을 떠나는 데 똑같은 3분짜리 운전-정차 주기가 반복되기 때문이며, 그래서 출발점에서 k-1칸 앞선 정류장을 떠나는 데 3(k-1)분이 걸린다.

▸ 왜?

한 주기는 2분의 운전에 1분의 정차가 빈틈없이 이어진 것이고, 이 두 조각이 합쳐져 3분짜리 한 주기 전체를 이룬다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

k-1칸 앞선 정류장을 떠난다는 것은 그 똑같은 3분짜리 주기를 k-1번 반복하는 것이며, 이는 3분짜리 묶음 k-1개이므로 3(k-1)분이 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

5.OA.B.3Make A Systematic List

4STEP 4

마지막 기다림 더하기

지아는 t = 15분부터 6번에서 기다립니다. 버스는 15분에 5번을 떠나 2분 달려 15 + 2 = 17분에 도착 — 이때 탑승.

15 + 2 = 17 분 → (A)

정답

걷는 속도와 버스 평균 속도 비교: 지아는 한 정류장에 5 분, 버스는 평균 3 분이 걸리니, 평균적으로 버스가

\frac{5}{3}

배 빠릅니다. 지아가 끝까지 걷기만 한다면 3 정류장 차이를 메우는 데 대략

\frac{3 × 5}{5-3}

= 7.5 정류장 시간 ≈ 37 분이 걸리겠지만, 지아가 "멈춰서 기다리는" 선택을 하기 때문에 만남이 훨씬 빨라집니다. 답 17 분은 선택지 17, 19, 20, 21, 23 중 가장 짧은 쪽에 있어, "계속 걷는 것보다 기다리는 게 빠르다" 는 직관과 잘 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "두 가지 수 패턴을 나란히 놓고 비교하기" 만 알면 풀 수 있어요!

버스 시각 규칙 찾기
정류장 한 줄로 그리기
걷는 경우 나열하기
마지막 기다림 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

버스 시각 규칙 찾기

정류장 한 줄로 그리기

걷는 경우 나열하기

마지막 기다림 더하기

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