경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2022 · #6
학년 3 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
선택지가 4, 5, 6, 7, 8 이라는 작은 자연수 다섯 개로 한정된 객관식 문제예요. 각 후보를 가장 작은 수 x 로 잡고 4x 를 계산한 뒤, 15가 x 와 4x 의 정확히 가운데에 놓이는지(양쪽 간격이 같은지) 직접 확인해 보면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)로 후보를 하나씩 대입해 보고, 도구 #3(가능성 지우기)로 조건에 맞지 않는 것을 지워 가면, 대수(도구 #13)까지 가지 않아도 가장 어린 학년 수준의 곱셈·뺄셈만으로 답을 찾을 수 있어요.
등간격 조건 풀어 쓰기
"같은 간격"이면 15가 작은 수와 큰 수의 정확한 한가운데에 있어 양쪽 간격이 같아야 해요.
"양쪽 간격이 같다" 는 한 줄 규칙만 잡으면, 나머지는 각 선택지에 대해 산수만 해 보면 됩니다.
세 수가 같은 간격으로 놓여 있으므로, 중간 수는 가장 작은 수와 가장 큰 수의 정확히 한가운데에 있다: 가장 작은 수에서 중간 수까지의 간격이 중간 수에서 가장 큰 수까지의 간격과 같다.
▸ 왜?
가장 작은 수에서 가장 큰 수까지의 전체 거리는 중간 수를 기준으로 서로 맞닿은 두 조각 — 작은 수에서 중간 수까지, 중간 수에서 큰 수까지 — 으로 나뉘며, 빈틈도 겹침도 없으므로 이 두 조각을 다시 더하면 전체 거리가 된다.
▸ 왜?
"같은 간격"이란 다음 수로 가는 각 걸음의 길이가 모두 같다는 뜻이므로 그 두 조각은 서로 같다. 그리고 각 조각의 길이는 차이 — 중간 수 빼기 작은 수, 큰 수 빼기 중간 수 — 인데, 뺄셈은 작은 수에 얼마를 더해야 큰 수에 이르는지 그 양을 되돌려 주기 때문이다.
x가 4인 경우 검사하기
x = 4: 큰 수 = 4 × 4 = 16, 간격 15 - 4 = 11과 16 - 15 = 1이 달라 (A) 탈락.
4 × 4 곱셈과 뺄셈은 3학년에서 다루는 곱셈 문장제·연산 그대로입니다.
3.OA.A.3Eliminate Possibilitiesx가 5인 경우 검사하기
x = 5: 큰 수 = 4 × 5 = 20, 간격 15 - 5 = 10과 20 - 15 = 5가 달라 (B) 탈락.
같은 3학년 곱셈·뺄셈 검사를 다음 후보에 적용할 뿐입니다.
3.OA.A.3Eliminate Possibilitiesx가 6인 경우 검사하기
x = 6: 큰 수 = 4 × 6 = 24, 간격 15 - 6 = 9와 24 - 15 = 9가 같아 조건 만족!
두 차이가 똑같이 나오는 순간 "같은 간격" 조건을 만족했음을 알 수 있어요.
3.OA.A.3Guess And Check나머지 선택지 배제하기
나머지 확인: x = 7은 간격 8과 13, x = 8은 7과 17로 다름 — 살아남는 건 (C) 6뿐.
나머지 후보까지 지워 봐야 (C)가 유일한 답이라는 게 확실해집니다.
3.OA.D.8Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 곱셈과 뺄셈만 알면, 선택지 다섯 개를 차례로 대입해서 양쪽 간격이 같은 답을 찾는 것만으로 풀 수 있어요!
- 등간격 조건 풀어 쓰기
- x가 4인 경우 검사하기
- x가 5인 경우 검사하기
- x가 6인 경우 검사하기
- 나머지 선택지 배제하기
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