AMC 8 · 2022 · #8

학년 5 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
fraction-multiplicationpattern-recognitionfraction-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationfraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →
문제
긴 곱셈 13\frac{1}{3}·24\frac{2}{4}·35\frac{3}{5}…1820\frac{18}{20}·1921\frac{19}{21}·2022\frac{20}{22} 의 값을 구하는 문제입니다. k 번째 분수가 kk+2\frac{k}{k+2} 꼴이고, k 는 1 부터 20 까지 움직입니다. 보기 (A) 1462\frac{1}{462}, (B) 1231\frac{1}{231}, (C) 1132\frac{1}{132}, (D) 2213\frac{2}{213}, (E) 122\frac{1}{22} 중 답을 고르면 됩니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{1}{462}$
(B)
$frac{1}{231}$
(C)
$frac{1}{132}$
(D)
$frac{2}{213}$
(E)
$frac{1}{22}$

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

20 개의 분수를 그대로 곱하면 분자·분모가 모두 20 자리에 가까운 수가 됩니다 — AMC 8 시간 안에 손으로 풀기엔 무리이고, 곧 "숨은 구조를 찾아라" 라는 신호입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 가 핵심: 분자에 등장하는 k 가 두 칸 앞 분수(k−2k\frac{k-2}{k}) 의 분모로 이미 등장해 있어서 거의 모든 항이 약분됩니다. 그 패턴을 손으로 먼저 확인하려고 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 분수 3 개·4 개짜리 미니 버전을 먼저 풀어 보고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기와 한 번 더 대조합니다.

1STEP 1

앞의 세 분수 13\frac{1}{3}·24\frac{2}{4}·35\frac{3}{5} 만 풀면, 위의 3 과 아래 3 이 약분돼 1⋅24⋅5\frac{1·2}{4·5} = 110\frac{1}{10}.

1⋅2⋅33⋅4⋅5\frac{1· 2· 3}{3· 4· 5} = 1⋅24⋅5\frac{1· 2}{4· 5} = 220\frac{2}{20} = 110\frac{1}{10}
2STEP 2

네 번째 분수까지 붙이면 3 과 4 가 약분돼, 위에는 1·2, 아래에는 5·6 만 남아 115\frac{1}{15} 이 됩니다.

1⋅2⋅3⋅43⋅4⋅5⋅6\frac{1· 2· 3· 4}{3· 4· 5· 6} = 1⋅25⋅6\frac{1· 2}{5· 6} = 230\frac{2}{30} = 115\frac{1}{15}
3STEP 3

원래 곱에서도 3 부터 20 까지 전부 약분되고, 위에는 1·2, 아래에는 21·22 만 남습니다: 1⋅221⋅22\frac{1·2}{21·22}.

1⋅2⋅3⋅4…203⋅4…20⋅21⋅22\frac{1· 2· 3· 4… 20}{3· 4… 20· 21· 22} = 1⋅221⋅22\frac{1· 2}{21· 22}
4STEP 4

남은 수를 곱하면 분자는 1×2 = 2, 분모는 21×22 = 462 이므로 곱은 2462\frac{2}{462} 입니다.

1⋅221⋅22\frac{1· 2}{21· 22} = 2462\frac{2}{462}
5STEP 5

위·아래를 2 로 나눠 2462\frac{2}{462} 를 1231\frac{1}{231} 로 약분하면 보기 (B) 와 일치합니다.

2462\frac{2}{462} = 2÷2462÷2\frac{2÷ 2}{462÷ 2} = 1231\frac{1}{231} → (B)
정답
frac{1}{231}
각 인수 kk+2\frac{k}{k+2} 는 모두 1 보다 작은 양수이고, 그 곱을 20 번 반복했으니 결과는 매우 작은 양의 분수여야 합니다 — 1231\frac{1}{231} 이 딱 그런 크기입니다. 또, 약분 전 2462\frac{2}{462} 에서 462 = 2· 3· 7· 11 = 21· 22 가 "분모에 남는 두 수는 21, 22" 라는 구조와 정확히 일치합니다. (A) 1462\frac{1}{462} 는 정답의 절반 크기로, 분자 생존자가 1· 2 = 2 인데 그냥 1 로 본 실수에 해당하고, (E) 122\frac{1}{22} 는 21 배나 크기 때문에 분모에 남는 21 을 빼먹은 실수에 해당합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 버전으로 약분 패턴을 먼저 찾으면, 무서워 보이던 20 개짜리 곱이 결국 1⋅221⋅22\frac{1· 2}{21· 22} 로 줄어들어요!

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