AMC 8 · 2023 · #10

학년 5 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation
fraction-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticfraction-multiplication
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문제
해럴드가 자두 파이 한 판을 구워서 그중 14\frac{1}{4} 을 먹었습니다. 그러고 나서 무스가 해럴드가 남긴 양의 13\frac{1}{3} 을 먹고, 다시 호저(porcupine)가 무스가 남긴 양의 13\frac{1}{3} 을 먹었습니다. 호저까지 다 떠난 뒤, 처음 파이의 몇 분의 몇이 남아 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{12}$
(B)
$\frac{1}{6}$
(C)
$\frac{1}{4}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
$\frac{5}{12}$

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

문제는 자꾸 "얼마나 먹었나?" 를 묻지만, 우리가 진짜 원하는 건 "얼마나 남았나?" 입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓰면 — 13\frac{1}{3} 을 먹었다는 말은 곧 1-13\frac{1}{3}=23\frac{2}{3} 를 남겼다는 뜻이니, 먹은 양을 빼는 대신 남긴 분수끼리 곱하기만 하면 됩니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 세 단계(해럴드 → 무스 → 호저)로 나눠 각 단계의 "남은 분수" 를 차례로 곱해서 최종 답을 얻습니다.

1STEP 1

해럴드의 먹기를 남기기로 뒤집기 — 14\frac{1}{4} 을 먹었으니 34\frac{3}{4} 를 남긴 것(도구 #16 여집합).

1-14\frac{1}{4}=34\frac{3}{4}
2STEP 2

무스도 똑같이 — 23\frac{2}{3} 를 남기니 23\frac{2}{3}×34\frac{3}{4} = 12\frac{1}{2} 가 처음 파이 기준 남은 양(도구 #7 두 번째).

23\frac{2}{3}×34\frac{3}{4}=612\frac{6}{12}=12\frac{1}{2}
3STEP 3

호저도 똑같이 — 23\frac{2}{3} 를 남기니 23\frac{2}{3}×12\frac{1}{2} = 13\frac{1}{3} 가 처음 파이에서 최종으로 남습니다.

23\frac{2}{3}×12\frac{1}{2}=26\frac{2}{6}=13\frac{1}{3}
4STEP 4

세 단계를 한 줄로 — 각 동물이 남긴 분수를 한꺼번에 곱하면 끝(도구 #7 결합 단계).

(1-14\frac{1}{4})(1-13\frac{1}{3})(1-13\frac{1}{3})=34\frac{3}{4}·23\frac{2}{3}·23\frac{2}{3}=1236\frac{12}{36}=13\frac{1}{3} → (D)
정답
13\frac{1}{3}
13\frac{1}{3} 이 말이 되는 답일까요? 해럴드만 먹었을 땐 34\frac{3}{4} 가 남아 있었고, 동물들이 들어올 때마다 눈앞 파이의 23\frac{2}{3} 만 남으므로 34\frac{3}{4}→12\frac{1}{2}→13\frac{1}{3} 처럼 점점 줄어드는 흐름이 자연스럽습니다. 최종값 13\frac{1}{3} 은 해럴드가 먹은 14\frac{1}{4} 보다는 크고 34\frac{3}{4} 보다는 작아서 크기 감각도 맞습니다. 정답 (D) 13\frac{1}{3} 으로 일관됩니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 × 분수 곱셈만 알면 풀려요!

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