AMC 8 · 2023 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesratio-proportionfraction-arithmetic area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 흰색 원 안에, 큰 회색 원 한 개 + 그 회색 원에서 도려낸 작은 흰색 원 두 개 + 그 바깥쪽에 흩뿌려진 작은 회색 원 세 개가 들어 있는 그림입니다. 점선 격자(한 칸 = 1)를 이용해 각 원의 반지름을 읽어내고, 큰 흰색 원의 넓이 중에서 "회색"으로 보이는 부분이 차지하는 분수를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{11}{36}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{19}{36}$

(E)

$\frac{5}{9}$

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기 / 그림 읽기

이 문제의 핵심은 "그림" 입니다. 도구 #1(그림 그리기/읽기) — 점선 격자를 자처럼 사용해서 각 원의 지름을 칸 수로 세면, 반지름이 모두 깔끔한 정수나 $\frac{1}{2}$ 로 떨어집니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 회색 영역을 세 조각으로 나눕니다 — (a) 큰 회색 원, (b) 빼야 할 안쪽 흰색 원 두 개, (c) 더해야 할 바깥쪽 작은 회색 원 세 개. 각 조각의 넓이를 따로 구해서 더하고 빼면 끝.

1STEP 1

점선 격자를 자로: 큰 흰색 원은 6칸이라 반지름 3, 회색 원 2, 안쪽 흰색 각 1, 작은 회색 각 $\frac{1}{2}$ .

r_큰흰색=3, r_큰회색=2, r_안흰색=1, r_작은회색=

\frac{1}{2}

2STEP 2

큰 흰색 원이 분모: A=πr²에 r=3을 넣으면 9π, 이것이 비교 기준인 전체.

A_큰흰색=π(3)²=9π

3STEP 3

큰 회색 원: 같은 공식에 r=2를 넣어 π·2²=4π — 구멍 파기 전의 회색.

A_큰회색=π(2)²=4π

4STEP 4

안쪽 흰색 원 두 개: 각 r=1이라 π씩, 합 2π를 회색에서 뺍니다.

2×π(1)²=2π

5STEP 5

작은 회색 원 세 개: 각 r= $\frac{1}{2}$ 이라 $\frac{\pi}{4}$ 씩, 합 $\frac{3\pi}{4}$ 를 더합니다 — 겹침 없음.

3×π(

\frac{1}{2}

)²=3×

\frac{\pi}{4}

\frac{3\pi}{4}

6STEP 6

합치기: 4π − 2π + $\frac{3\pi}{4}$ = 2π + $\frac{3\pi}{4}$ = $\frac{11\pi}{4}$ 가 회색 넓이.

A_회색=4π-2π+

\frac{3\pi}{4}

\frac{8\pi+3\pi}{4}

\frac{11\pi}{4}

7STEP 7

회색을 전체로 나누기: (11π/4)/(9π), π가 약분되어 $\frac{11}{36}$ , 선택지 (B).

A_회색/A_큰흰색=11π/4/9π=

\frac{11}{4· 9}

\frac{11}{36}

→ (B)

정답

\frac{11}{36}

\frac{11}{36}

이 말이 되는 답일까요? 큰 회색 원만 보면

\frac{4\pi}{9\pi}

\frac{4}{9}

≈ 0.44 정도이지만, 안쪽 흰색 원 두 개(2π)가 그 절반을 도려내서

\frac{2}{9}

≈ 0.22 근처로 떨어지고, 바깥쪽 작은 회색 세 개(

\frac{3\pi}{4}

, 조금 더해줌)가 다시 0.30 부근까지 올려놓습니다.

\frac{11}{36}

≈ 0.306 으로 정확히 그 자리에 있고,

\frac{1}{4}

과

\frac{1}{3}

사이에 있는 유일한 선택지라 (B) 가 자연스럽게 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년에서 배우는 원의 넓이 공식 π r² 하나만 알면, 나머지는 회색 조각을 더하고 빼는 퍼즐 맞추기로 풀려요!

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