AMC 8 · 2023 · #18

학년 5 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

linear-diophantinedivisibility-rulesoptimization-counting guess-and-checkmodular-arithmeticbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

그레타는 길게 늘어선 수련잎 위에 앉아 있습니다. 한 번에 오른쪽으로 정확히 +5 칸 뛰거나 왼쪽으로 정확히 -3 칸 뛸 수 있습니다. 시작 위치에서 정확히 오른쪽으로 2023 칸 떨어진 수련잎에 도착하려면, 최소 몇 번 점프해야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

405

(B)

407

(C)

409

(D)

411

(E)

413

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

오른쪽으로만 뛰면 2023 / 5 = 404.6 점프가 필요한데 자연수가 아니라 불가능합니다. 그렇다면 5R 이 2023 보다 살짝 큰 가장 작은 R 부터 차례로 시도해서, 초과량 5R - 2023 이 3 의 배수인지 확인하면 됩니다 — 바로 도구 #6(추측하고 확인하기)입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 "2023 을 얼마나 초과하고, 그 초과분이 3 들로 만들어지는가?" 라는 더 간단한 질문으로 바꿔 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 초과량이 3 의 배수가 되는지 확인하는 데 도움이 됩니다.

1STEP 1

오른쪽은 +5, 왼쪽은 -3; +2023 에 도착하려면 5R - 3L = 2023 이 되어야 합니다.

5R - 3L = 2023, R ≥ 0, L ≥ 0

2STEP 2

왼쪽은 깎기만 하니 오른쪽만으로 2023 에 닿아야 함; 5 × 404 = 2020 은 2023 보다 작아 R ≥ 405.

5 × 404 = 2020 ＜ 2023 ＜ 2025 = 5 × 405 → R ≥ 405

3STEP 3

R = 405 시도: 5R = 2025, 초과 2. 3L = 2 는 자연수 L 없음 (2 는 3 의 배수 아님). 기각.

5(405) - 3L = 2023 → 3L = 2 → 자연수 L 없음

4STEP 4

R = 406 시도: 5R = 2030, 초과 7. 7 도 3 의 배수 아님. 기각.

5(406) - 3L = 2023 → 3L = 7 → 자연수 L 없음

5STEP 5

R = 407 시도: 5R = 2035, 초과 12 = 3 × 4, L = 4 성립 — 총 R + L = 411.

5(407) - 3L = 2023 → 3L = 12 → L = 4 → R + L = 411

6STEP 6

오른쪽 3 번 늘 때마다 왼쪽 5 번 필요 → 총합 8 씩 증가; 이후 해는 더 큼. 최소 411, 답 (D).

R + L = 411 → (D) 411

정답

411

오른쪽으로만 뛰면 2023 / 5 = 404.6 점프 — 404 와 405 사이의 어중간한 값이 됩니다. 5 와 3 은 2023 과 깔끔하게 맞아떨어지지 않으니, 왼쪽 점프를 약간 섞어 산수를 맞춰야 하고, 가장 작은 보정이 L = 4, R = 407 입니다. 답 411 은 자연스러운 최솟값 407 보다 정확히 4 만큼 큰데, 이는 우리가 추가한 왼쪽 점프 4 번과 정확히 맞아 떨어집니다. 다른 선택지(405, 407, 409, 413)는 왼쪽 점프를 잊거나(407), 자연수가 아닌 몫을 답으로 삼거나(405), 사이클을 잘못 세었을 때(409, 413) 나오는 함정입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "같은 규칙을 반복하면 총합은 얼마씩 커지나?" 라는 두 수열의 관계만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기