AMC 8 · 2023 · #25

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

sequences-arithmeticlinear-equations-two-vardigit-sum bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

수직선 위에 15 개의 정수 a₁, a₂, …, a₁5 가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 첫째 항은 1 ≤ a₁ ≤ 10, 둘째 항은 13 ≤ a₂ ≤ 20, 마지막 항은 241 ≤ a₁5 ≤ 250 을 만족합니다. 이때 a₁4 의 각 자리 숫자의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

"일정한 간격으로 놓인 정수" 라는 표현은 곧장 도구 #5(패턴 찾기) — 등차수열 패턴 a_n = a₁ + (n-1)d — 로 안내합니다. 모든 항을 a₁ 과 d 만으로 표현할 수 있게 되면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 두 단계로 나눕니다: 먼저 공차 d 를 찾고, 그 다음 첫째 항 a₁ 을 찾습니다. 이때 a₁5 - a₂ = 13d 처럼 차를 이용하면 a₁ 이 사라져 d 의 범위를 좁힐 수 있습니다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기) — 범위 안의 정수 후보 중 모순을 일으키는 값을 지워 나가면 유일한 해가 남습니다.

1STEP 1

등간격 정수는 등차수열이므로 모든 항이 규칙 a_n = a₁ + (n-1)d 를 따릅니다.

a_n = a₁ + (n-1)d → a₂ = a₁ + d, a₁4 = a₁ + 13d, a₁5 = a₁ + 14d

2STEP 2

a₁5 에서 a₂ 를 빼면 a₁ 이 사라지고 221 ≤ 13d ≤ 237 만 남습니다.

a₁5 - a₂ = 13d, 241 - 20 ≤ 13d ≤ 250 - 13, 221 ≤ 13d ≤ 237

3STEP 3

13 으로 나누면 d ∈ {17, 18} 이고, d = 18 이면 a₁5 ≥ 253 으로 초과하므로 d = 17 만 남습니다.

\frac{221}{13}

≤ d ≤

\frac{237}{13}

→ d ∈ {17, 18}; d = 18 → a₁5 ≥ 253 ＞ 250 → d = 17

4STEP 4

d = 17 이면 주어진 세 범위가 한 정수로 좁혀져 a₁ = 3 이 됩니다.

1 ≤ a₁ ≤ 10, -4 ≤ a₁ ≤ 3, 3 ≤ a₁ ≤ 12 → a₁ = 3

5STEP 5

따라서 a₁4 = 3 + 13 × 17 = 224, 자리 숫자 합은 2 + 2 + 4 = 8, 선택지 (A) 입니다.

a₁4 = 3 + 13 · 17 = 224, 2 + 2 + 4 = 8 → (A)

정답

검산: a₁ = 3, d = 17 이면 a₂ = 20 (범위 [13, 20] 안 ✓), a₁5 = 3 + 14 · 17 = 3 + 238 = 241 (범위 [241, 250] 안 ✓). 두 항이 모두 범위의 경계에 딱 붙어 있다는 점이 흥미로운데, 이는 세 조건이 사실상 해를 한 가지로 강제한다는 신호입니다. 공차 d = 17 이 일정하고 15 개 항이 모두 3 부터 241 사이의 정수이며, a₁4 = a₁5 - d = 241 - 17 = 224 로 다시 한 번 확인됩니다. 200 근처 세 자리 수의 자리 숫자 합 2+2+4 = 8 은 자연스러운 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "부등식으로 범위를 좁혀 하나의 정수를 골라내는" 추론만 알면 풀 수 있어요!

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