경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #15

학년 4 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
place-valuemulti-digit-arithmeticdivisibility-rules digit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트
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문제
여섯 글자 F, L, Y, B, U, G 가 각각 서로 다른 한 자리 숫자(0-9)를 나타냅니다. 세 자리 묶음 FLY 를 두 번 이어 붙인 여섯 자리 수 FLYFLY 가 등식 8 · FLYFLY = BUGBUG 를 만족하는 가장 큰 수일 때, 세 자리 수 FLY 와 BUG 의 합 FLY + BUG 의 값을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1089
(B)
1098
(C)
1107
(D)
1116
(E)
1125

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 추측하고 확인하기

여섯 자리 수 FLYFLY는 무서워 보이지만, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심을 풀어 줍니다. 작은 세 자리 수, 예를 들어 123으로 123,123을 만들어 보면 123,123 = 1000 × 123 + 123 = 1001 × 123 임이 자릿값에서 바로 보입니다. 같은 원리로 모든 세 자리 묶음에 대해 FLYFLY = 1001 × FLY 가 성립하고, 복잡해 보이던 식이 8 · FLY = BUG 로 깔끔하게 줄어듭니다. 그 다음 할 일은 "8 · FLY 도 세 자리 수이고 여섯 숫자가 모두 다른" FLY 중 가장 큰 것을 찾는 것 — 이것은 도구 #6 (추측하고 확인하기)가 가장 잘 맞는 일입니다. 가장 큰 후보에서 시작해 한 칸씩 내려오면 됩니다. 도구 #2는 그 내림차순 탐색을 정리해 주고, 도구 #3은 최종 합이 선택지에 정확히 있는지 확인해 줍니다.

1STEP 1

1001로 묶어 내기

묶음을 두 번 쓰면 그 값의 1001배이므로, 양변을 1001로 나누면 8 · FLY = BUG 로 줄어듭니다.

254,254 = 254 × 1001 → 8 · FLY = BUG
2STEP 2

FLY의 최댓값 정하기

BUG = 8 · FLY 도 세 자리여야 하므로 8 · FLY ≤ 999, 즉 FLY ≤ 999 ÷ 8이라 FLY ≤ 124 입니다.

FLY ≤ 999/8 = 124.875 → FLY ≤ 124
3STEP 3

위에서부터 하나씩 내려가며 확인하기

맨 위 FLY = 124부터: BUG = 8 × 124 = 992 인데 9가 겹치고 L = 2 와도 충돌해 124는 탈락.

FLY = 124 → BUG = 8 × 124 = 992, 숫자={1,2,4,9,9,2} (중복)
4STEP 4

숫자가 모두 다른 첫 경우 잡기

한 칸 내려 FLY = 123: BUG = 8 × 123 = 984, 여섯 숫자 {1,2,3,9,8,4}가 모두 달라 가장 큰 유효 값.

FLY = 123 → BUG = 8 × 123 = 984, 숫자={1,2,3,9,8,4} (모두 다름) ✓
5STEP 5

FLY와 BUG 더하기

둘을 더하면 FLY + BUG = 123 + 984 = 1107, 선택지 (C)입니다.

123 + 984 = 1107 → (C)
정답
1107
검산으로 FLY = 123을 원래의 여섯 자리 등식에 다시 넣어 봅니다. 좌변 8 · 123,123 = 984,984, 우변 BUGBUG = 984,984 — 정확히 일치합니다. 여섯 숫자 {F, L, Y, B, U, G} = {1, 2, 3, 9, 8, 4}도 모두 다릅니다. 그리고 FLY = 123이 산술적 상한 124 보다 딱 한 칸 작다는 점도 자연스럽습니다 — 단지 124 한 경우가 "서로 다른 숫자" 조건에서 걸려 한 단계 내려왔을 뿐입니다. 답 1107이 선택지 한가운데 위치한다는 점도, "한 번 실패 후 다음 성공" 식의 추측-확인이 흔히 도달하는 자리와 잘 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 다자리 수 자릿값, 곱셈, 나눗셈, 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

  • 1001로 묶어 내기
  • FLY의 최댓값 정하기
  • 위에서부터 하나씩 내려가며 확인하기
  • 숫자가 모두 다른 첫 경우 잡기
  • FLY와 BUG 더하기

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