AMC 8 · 2024 · #19

학년 4 rate-ratio

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

ratio-proportionfraction-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

지호는 운동화 15켤레를 가지고 있어요. 그중

\frac{3}{5}

는 빨간색이고 나머지는 흰색,

\frac{2}{3}

는 하이탑이고 나머지는 로우탑입니다. 빨간색이면서 하이탑인 운동화가 전체 15켤레 중에서 차지하는 **가장 작은 분수**가 얼마인지 묻는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$dfrac{1}{5}$

(C)

$dfrac{4}{15}$

(D)

$dfrac{1}{3}$

(E)

$dfrac{2}{5}$

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

"색깔과 스타일"이라는 두 가지 분류가 동시에 걸려 있으므로, 도구 #1로 2 × 2 표(그림) 를 그려 네 칸(빨강·하이탑, 빨강·로우탑, 흰·하이탑, 흰·로우탑)을 한눈에 보이게 만드는 것이 출발점입니다. "빨강 하이탑을 가장 작게" 만들고 싶다는 직접적인 요구는 도구 #16(관점 바꾸기)로 **"빨강 로우탑을 가장 크게 만들면 된다"**로 뒤집을 때 훨씬 쉬워집니다. 마지막에는 도구 #6(추측하고 확인하기)로 후보값 x = 0, 1, 2, 3, 4 를 차례로 시도해 칸이 모두 0 이상인 가장 작은 x 를 골라 확인합니다. 도구 #13(대수) 없이도 표·논리·확인만으로 충분히 풀립니다.

1STEP 1

전체의 분수만큼: $\frac{3}{5}$ × 15 = 빨강 9, 15 - 9 = 흰색 6; $\frac{2}{3}$ × 15 = 하이탑 10, 15 - 10 = 로우탑 5.

\frac{3}{5}

× 15 = 9, 15 - 9 = 6,

\frac{2}{3}

× 15 = 10, 15 - 10 = 5

2STEP 2

2×2 표에 x = 빨강 하이탑; 행·열 합으로 빨강 로우탑 = 9 - x, 흰 하이탑 = 10 - x, 흰 로우탑 = x - 4.

& 하이탑 & 로우탑 & 합 ; 빨강 & x & 9-x & 9 ; 흰색 & 10-x & x-4 & 6 ; 합 & 10 & 5 & 15

3STEP 3

관점을 뒤집어 x를 최소화 = 빨강 로우탑 9 - x를 최대화. 로우탑은 5뿐이라 9 - x ≤ 5, 곧 x ≥ 4.

빨강 로우탑 = 9 - x ≤ min(5, 9) = 5 ⟹ x ≥ 9 - 5 = 4

4STEP 4

x = 0,1,2,3은 빨강 로우탑이 5를 넘어 불가. x = 4일 때만 빨강 로우탑 5, 흰 하이탑 6으로 모든 칸이 0 이상.

x = 4: & 하이탑 & 로우탑 & 합 ; 빨강 & 4 & 5 & 9 ; 흰색 & 6 & 0 & 6 ; 합 & 10 & 5 & 15

5STEP 5

최솟값 4를 15로 나누면 $\frac{4}{15}$ , 더 줄지 않는 기약분수 — 정답 (C). 나머지는 x = 0, 3이 필요해 모두 불가.

\frac{4}{15}

→ (C)

정답

dfrac{4}{15}

x = 4 표를 다시 세로·가로로 더해 보면 행 합 4 + 5 = 9 (빨강), 6 + 0 = 6 (흰색), 열 합 4 + 6 = 10 (하이탑), 5 + 0 = 5 (로우탑)으로 네 가장자리 수가 모두 정확히 맞습니다. 또 답이 0 이 아닌 것은 "빨강 9켤레가 로우탑 5켤레보다 많으니, 적어도 9 - 5 = 4 켤레는 어쩔 수 없이 하이탑일 수밖에 없다"는 비둘기집 같은 직관과도 맞습니다. 분수

\frac{4}{15}

≈ 0.267 은

\frac{1}{5}

= 0.2 와

\frac{1}{3}

≈ 0.333 사이에 끼인 합리적인 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "전체의 몇 분의 몇 구하기"와 표 정리만 알면 풀 수 있어요!

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