경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #20

학년 3 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationsystematic-enumeration complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: spatial-visualizationmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

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문제

정육면체 PQRSTUVW 의 여덟 꼭짓점 중에서 세 개를 골라 삼각형을 만들 때, 꼭짓점 P 를 포함하면서 정삼각형이 되는 삼각형이 몇 개인지 묻는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

정육면체는 머릿속으로만 다루기 어려우니, 먼저 도구 #10으로 주사위·상자 같은 실물 정육면체를 꺼내 한 꼭짓점에 P 라고 적습니다. 그러면 P 에서 다른 7 개의 꼭짓점까지의 "거리 종류"가 세 가지뿐임이 손으로 만져 보면 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 "P 와 정삼각형을 만들 수 있는 꼭짓점"을 직접 찾는 대신, 만들 수 없는 꼭짓점들을 먼저 빼는 식으로 후보를 좁힙니다. 남은 후보가 작아지면 도구 #2로 세 점의 조합을 빠짐없이 나열하고, 마지막으로 도구 #3으로 답을 선택지와 맞춰 봅니다.

1STEP 1

나머지 꼭짓점 거리별로 나누기

P 기준으로 나머지 7 점 분류: 이웃 3(Q,S,W), 면대각선 3(R,T,V), 정반대 1(U) → 3 + 3 + 1 = 7.

3 + 3 + 1 = 7

2STEP 2

모서리·면·대각선 길이 비교하기

여섯 면이 모두 합동 정사각형이라 P 에서의 거리는 모서리 ＜ 면 대각선 ＜ 공간 대각선 세 단계로 모두 다름.

모서리 ＜ 면 대각선 ＜ 공간 대각선

3STEP 3

같은 거리 꼭짓점만 남기기

안 되는 종류부터 제거: 공간 대각선은 U 뿐, 모서리는 세 번째 변이 길어짐. 남는 건 면 대각선, 후보 {R, T, V}.

후보 꼭짓점 = {R, T, V}

4STEP 4

셋 중 둘 고르기

R, T, V 중 두 점을 P 와 짝: {R,T}→△PRT, {R,V}→△PRV, {T,V}→△PVT — 3 가지 확인.

{R,T}, {R,V}, {T,V} → 3 가지

5STEP 5

각 삼각형이 정삼각형인지 확인하기

각 삼각형의 세 번째 변 RT·RV·TV 도 면 대각선이라 세 변이 같음 — 셋 다 정삼각형.

PR = PT = PV = RT = RV = TV = 면 대각선

6STEP 6

개수를 선택지와 맞추기

(A)0·(B)1·(C)2는 이미 세 개를 찾았으니 탈락, (E)6은 C(3,2)=3 초과라 탈락 — 정답 (D).

3 → (D)

정답

P 와 정삼각형을 만들려면 P 의 "같은 거리 종류"의 점이 적어도 두 개 필요한데, 모서리 거리에 있는 이웃 점 세 개와 면 대각선 거리에 있는 마주보는 점 세 개 중에서, 후자의 세 점 R, T, V 끼리도 서로 면 대각선만큼 떨어져 있다는 점이 이 문제의 핵심입니다. P 에서 만들 수 있는 답이 3 개라는 사실은 정육면체의 대칭성과 잘 어울립니다 — 사실 정육면체에서 꼭짓점 하나를 골라 만들 수 있는 정삼각형은 항상 3 개씩이고, 모든 꼭짓점에서 같은 방식으로 셀 수 있다는 점이 합리성의 검산이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 도형의 공통 성질(정육면체의 모든 면이 똑같은 정사각형!)만 알면 풀려요!

나머지 꼭짓점 거리별로 나누기
모서리·면·대각선 길이 비교하기
같은 거리 꼭짓점만 남기기
셋 중 둘 고르기
각 삼각형이 정삼각형인지 확인하기
개수를 선택지와 맞추기

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