경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #23

학년 6 rate-ratio

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Grid Diagonal Cell Count

gcdcoordinate-geometrypattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: gcdcoordinate-geometrymulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

모눈종이 위에서 점 (2000, 3000) 과 점 (5000, 8000) 을 잇는 하나의 선분이 내부를 통과(꼭짓점만 스치는 것은 제외)하는 **모눈 칸의 총 개수**를 묻는 문제입니다. 보조 예시로 (0,4)→(2,0) 의 선분이 정확히 4 칸을 색칠한다는 사실이 그림과 함께 주어져 있습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

6000

(B)

6500

(C)

7000

(D)

7500

(E)

8000

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

끝점의 숫자 2000, 3000, 5000, 8000이 너무 커서 직접 칸을 세는 것은 불가능합니다. 그래서 가장 자연스러운 도구는 #9 — 숫자를 작게 줄여 (0,0)→(Δ x, Δ y) 모양의 작은 예시들을 도구 #1로 직접 그려보고 결과를 표로 모으는 것입니다. 그 표에서 #5 패턴 찾기 로 "칸 개수 = Δ x + Δ y - (보정값)" 형태의 규칙을 발견하고, 보정값이 "선분이 통과하는 격자점의 개수"임을 확인합니다. 마지막에 #2로 가능한 보정값을 빠짐없이 확인하고 원래 큰 숫자에 적용하면 됩니다. 초등학생도 그림 + 작은 표만으로 충분히 도달할 수 있는 길이라, 도구 #13(대수)이나 무거운 공식 유도는 필요하지 않습니다.

1STEP 1

차이만 남기기

격자 전체를 왼쪽 2000·아래 3000 옮기면 선분은 (0,0)→(3000, 5000)이 되고 칸 수는 그대로.

Δ x = 5000 - 2000 = 3000, Δ y = 8000 - 3000 = 5000

2STEP 2

작은 경우 칸 수 세기

(0,0)에서 작은 선분을 그려 세면 (1,1):1, (1,2):2, (2,3):4, (2,4):4, (3,5):7 칸.

(1,1):1, (1,2):2, (2,3):4, (2,4):4, (3,5):7

3STEP 3

표에서 규칙 찾기

규칙을 Δx + Δy - 1 로 추측하면 (1,2),(2,3),(3,5)는 맞지만 (2,4)는 5, (2,2)는 3이라 실제보다 큼.

(2,4):2+4-1=5 ≠ 4, (2,2):2+2-1=3 ≠ 2

4STEP 4

칸 수가 줄어드는 이유 보기

선분이 (1,2) 같은 격자점을 지나면 두 격자선을 한 점에서 건너 1을 더 빼야 하니 칸 수 = Δx + Δy - g.

(2,4):격자점 (1,2) 통과 → 2+4-2=4 ✓

5STEP 5

지나는 격자점 세기

선분 위 격자점 수가 gcd(Δx, Δy)라서 g는 그 gcd. 곧 N = Δx + Δy - gcd(Δx, Δy)이고 작은 예시 모두 맞음.

N = Δ x + Δ y - gcd(Δ x, Δ y)

두 수의 공통 척도(최대공약수)를 찾아내는 것은 6학년의 GCD 표준에서 다루는 핵심 개념입니다.

(0,0)에서 (Δ x, Δ y)까지 그은 선분은 정확히 Δ x + Δ y - gcd(Δ x, Δ y)개 칸의 내부를 지난다.

▸ 왜?

내부의 어떤 모서리도 지나지 않는다면 선분은 Δ x + Δ y - 1개 칸을 만난다: 한 칸 안에서 출발해, 격자선을 넘을 때마다 새 칸으로 하나씩 들어가기 때문이다.

▸ 왜?

(0,0)에서 (Δ x, Δ y)로 올라가는 동안 선분의 x값은 1부터 Δ x - 1까지의 각 정수를 정확히 한 번씩, y값은 1부터 Δ y - 1까지의 각 정수를 정확히 한 번씩 지나므로, 넘는 격자선은 정확히 (Δ x - 1) + (Δ y - 1)개다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

선분이 만나는 칸은 출발한 한 칸에 넘은 격자선마다 새 칸 하나를 더한 것으로, 빠뜨림도 중복도 없으니 전체 개수는 그 부분들을 그대로 더한 값이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

선분이 지나는 내부 모서리 하나마다 그 기본 개수에서 하나씩 줄어든다. 모서리에서는 세로 격자선과 가로 격자선이 만나므로 두 교차가 한 점에서 일어나고, 새 칸을 둘이 아니라 하나만 열기 때문이다.

▸ 왜?

두 교차가 완전히 같은 점에서 일어나면 새 칸으로의 이동은 한 번뿐이다. 선분이 들어가는 새 칸은 서로 다른 교차점 하나에 대응하는데, 공유된 모서리는 한 점이기 때문이다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

선분은 내부 모서리를 정확히 gcd(Δ x, Δ y) - 1개 지나므로, 이를 Δ x + Δ y - 1에서 빼면 Δ x + Δ y - gcd(Δ x, Δ y)가 남는다. 선분 위의 정수점들은 g = gcd(Δ x, Δ y)일 때 걸음 (Δ x / g, Δ y / g)을 따라 고르게 놓여 있다.

▸ 왜?

두 변은 각각 g개의 같은 몫으로 나뉜다 — Δ x는 Δ x / g의 g묶음, Δ y는 Δ y / g의 g묶음 — 그래서 같은 걸음 (Δ x / g, Δ y / g)을 g번 밟으면 처음에서 끝까지 가며, 중간에 정확히 g - 1개 모서리에 놓인다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

고르게 놓인 그 점들 사이에 다른 모서리는 숨어 있지 않다. g는 Δ x와 Δ y를 모두 나누는 가장 큰 수라, 걸음 (Δ x / g, Δ y / g)을 더 작은 정수 걸음으로 줄일 수 없기 때문이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

6.NS.B.4Look For A Pattern

6STEP 6

큰 수에 공식 적용하기

3000=1000×3, 5000=1000×5라 gcd=1000. 따라서 N = 3000 + 5000 - 1000 = 7000, 선택지 (C).

N = 3000 + 5000 - 1000 = 7000 → (C)

정답

7000

공식 N = Δ x + Δ y - gcd 가 처음에 주어진 그림 예시 (0,4)→(2,0) 에서 Δ x = 2, Δ y = 4, gcd(2,4)=2 이므로 2+4-2=4 — 그림에 색칠된 정확히 4 칸과 맞아떨어집니다. 크기 감각으로도 3000+5000=8000 보다는 작고 3000+5000의 절반 이상은 되어야 하므로 7000은 자연스러운 값이며, 선택지 (A) 6000은 격자점 보정을 너무 많이 빼서, (E) 8000은 보정을 아예 안 빼서 나오는 전형적인 함정 값임을 확인할 수 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최대공약수(GCD)만 알면 풀 수 있어요!

차이만 남기기
작은 경우 칸 수 세기
표에서 규칙 찾기
칸 수가 줄어드는 이유 보기
지나는 격자점 세기
큰 수에 공식 적용하기

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차이만 남기기

작은 경우 칸 수 세기

표에서 규칙 찾기

칸 수가 줄어드는 이유 보기

지나는 격자점 세기

큰 수에 공식 적용하기

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