AMC 8 · 2024 · #25

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basicfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

비행기에는 3 개씩 4 줄, 총 12 개의 좌석이 있습니다. 이미 8 명이 무작위로 앉아 있고 4 개의 빈 좌석이 남아 있습니다. 다음에 탑승하는 부부가 같은 줄에서 옆자리 둘에 함께 앉을 수 있을 확률을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{8}{15}$

(B)

$frac{32}{55}$

(C)

$frac{20}{33}$

(D)

$frac{34}{55}$

(E)

$frac{8}{11}$

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여사건 세기

"부부가 옆자리에 앉을 수 있을 확률"은 곧 "빈 좌석 4 개 중 같은 줄에서 옆에 붙은 쌍이 적어도 한 쌍 있을 확률"입니다. "적어도"라는 말이 보이면 곧장 도구 #16(관점 바꾸기) — 반대 사건(어느 두 빈 좌석도 같은 줄에서 옆에 붙어 있지 않음)을 세는 편이 훨씬 쉽습니다. 반대 사건을 셀 때는 빈 좌석 4 개가 네 줄에 어떻게 나뉘는지로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 써서 경우를 정리합니다. 좌석 배치를 직관적으로 보기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 4× 3 격자를 함께 그리고, 한 줄(3 자리)에서 옆에 붙지 않게 빈 좌석을 놓는 방법이 몇 가지인지 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 미리 확인해 둡니다.

1STEP 1

한 줄(3자리)만 떼어 보면, 빈 좌석이 옆에 안 붙게 놓는 수는 (0,1,2,3개)→(1,3,1,0), 2개는 양 끝만 가능해요.

한 줄당 비인접 빈 좌석 배치 수: (0,1,2,3) → (1,3,1,0)

2STEP 2

분모는 12자리 중 빈 좌석 4개를 뽑는 전체 경우. 순서 무관이라 조합 C(12,4)=495.

C(12, 4) =

\frac{12 × 11 × 10 × 9}{4 × 3 × 2 × 1}

= 495

3STEP 3

여사건은 빈 4개가 네 줄에 나뉘는 분포로 나열. 한 줄 최대 2개라 (1,1,1,1), (2,1,1,0), (2,2,0,0)뿐.

분포 후보: (1,1,1,1), (2,1,1,0), (2,2,0,0)

4STEP 4

각 분포에서 줄별 (1,3,1) 가짓수를 곱하면 81, 108, 6이고, 합은 195가지.

81 + 108 + 6 = 195

5STEP 5

여사건 확률은 $\frac{195}{495}$ , 최대공약수 15로 약분하면 $\frac{13}{33}$ — 부부가 함께 못 앉을 확률.

P(앉을 수 없음) =

\frac{195}{495}

\frac{13}{33}

6STEP 6

여사건의 법칙으로 1 - $\frac{13}{33}$ = $\frac{20}{33}$ , 이는 선택지 (C)와 정확히 일치해요.

1 -

\frac{13}{33}

\frac{20}{33}

→ (C)

정답

\frac{20}{33}

정답

\frac{20}{33}

≈ 0.606 은 절반(0.5)보다 조금 크고 1보다 작은 합리적인 확률입니다. 빈 좌석이 4 개나 되고 한 줄당 옆자리 쌍이 2 군데(3 자리이므로)나 있으므로 "옆자리 쌍이 생길" 가능성이 더 높은 쪽이 자연스럽습니다. 또 다른 빠른 검산: 총 C(12, 4)=495 가지 중 옆자리 쌍이 생기는 경우의 수는 495 - 195 = 300 이고,

\frac{300}{495}

\frac{20}{33}

으로 같은 값이 나옵니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 마지막 문제는 사실 7학년 때 배우는 "정리된 목록으로 경우 세기"와 "여사건의 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

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