AMC 8 · 2024 · #3

학년 3 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-rectanglesperfect-squares area-difference ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

변의 길이가 4, 7, 9, 10 인 네 개의 정사각형을 왼쪽 변과 아래쪽 변을 맞춰 겹쳐 놓았습니다. 가장 큰 것부터 작은 것까지 색이 회색·흰색·회색·흰색 순으로 번갈아 칠해져 있을 때, 보이는 회색 영역의 총 넓이(제곱 단위)를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

보이는 회색은 한 덩어리가 아니라 두 개의 분리된 ㄴ자(또는 ㄱ자) 띠 입니다 — 바깥쪽 회색(변 10)에서 흰색(변 9)이 가리고 남은 부분, 그리고 안쪽 회색(변 7)에서 흰색(변 4)이 가리고 남은 부분. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "회색 띠 두 개를 따로 구해서 더하기"로 줄이면 각 조각이 "큰 정사각형 넓이 − 작은 정사각형 넓이" 라는 아주 쉬운 계산이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 어떤 회색 영역이 보이는지 확인하고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 맞춰 검산합니다.

1STEP 1

같은 꼭짓점에서 출발하니 각 회색은 흰색 하나에만 덮여, 보이는 회색 띠는 변 10(변 9가 덮음)과 변 7(변 4가 덮음) 두 개.

보이는 회색 = (변 10 회색 띠) + (변 7 회색 띠)

2STEP 2

바깥 띠 = 큰 회색 − 덮은 흰색: 10 × 10 − 9 × 9 = 100 − 81 = 19.

10 × 10 - 9 × 9 = 100 - 81 = 19

3STEP 3

안쪽 띠도 똑같이: 변 7 회색 − 변 4 흰색 = 7 × 7 − 4 × 4 = 49 − 16 = 33.

7 × 7 - 4 × 4 = 49 - 16 = 33

4STEP 4

두 회색 조각은 서로 겹치지 않으므로 (각각 다른 정사각형 사이에 있는 띠), 그냥 두 넓이를 더하면 보이는 회색의 총 넓이가 나옵니다.

19 + 33 = 52

5STEP 5

선택지와 비교하면 19 + 33 = 52 는 (E) 하나뿐이고, 큰 정사각형 넓이 100 보다 한참 작아 크기도 자연스럽습니다.

19 + 33 = 52 → (E)

정답

직관 점검: 가장 큰 회색 정사각형의 전체 넓이는 10 × 10 = 100 이고, 그 위를 거의 다 덮는 흰색이 9 × 9 = 81 이라 바깥 회색 띠는 19 로 아주 얇아야 합니다 (변 길이 차이가 1뿐이니까요). 반면 안쪽은 변 7 과 변 4 의 차이가 3 으로 더 크니 띠도 더 두꺼워(=33) 야 자연스럽습니다. 합이 52 인 것은 100 보다 한참 작고 두 조각의 합이라는 점에서 크기도 맞습니다. 답 (E) 52 가 적절합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 정사각형 넓이(변×변)와 영역 빼기만 알면 풀 수 있어요!

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