AMC 8 · 2024 · #4

학년 3 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

perfect-squaresmultiplesmental-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

윤지가 1부터 9까지의 정수를 모두 더하려고 했는데 한 숫자를 빠뜨렸다. 그 잘못된 합이 완전제곱수가 되었다. 윤지가 빠뜨린 숫자는 무엇인지 보기 (A)~(E)에서 고르는 문제이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

범위가 작다 — 빠뜨릴 수 있는 숫자는 9개뿐이고, 잘못된 합도 좁은 구간에 들어간다. 그러니 완전제곱수(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …)를 차례로 빠짐없이 나열(도구 #2)해서 가능한 범위 안에 들어오는 것을 찾으면 된다. 보기 (A)~(E)를 직접 대입해 보는 추측·확인(도구 #6)으로 검산할 수도 있다. 마지막으로 "잘못된 합 = 36"을 얻으면 45 - x = 36에서 x를 거꾸로 풀어낸다(도구 #11). 대수 방정식(도구 #13)까지 갈 필요는 전혀 없다.

1STEP 1

양 끝에서 짝지어 더하면 10이 네 번, 남은 5까지 합쳐 1부터 9까지 합은 45.

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = (1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5 = 10+10+10+10+5 = 45

2STEP 2

x가 1부터 9까지이므로 잘못된 합 45 - x는 36 이상 44 이하이다.

x ∈ {1, 2, …, 9} → 45 - 9 ≤ 45 - x ≤ 45 - 1 → 36 ≤ 45 - x ≤ 44

3STEP 3

제곱수 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 중 [36, 44]에 드는 것은 36뿐이라 잘못된 합은 36이다.

1, 4, 9, 16, 25, 36_∈ [36,44] ✓, 49, … → 잘못된 합 = 36 = 6²

4STEP 4

45 - x = 36을 거꾸로 풀면 x = 45 - 36 = 9, 윤지가 빠뜨린 수 — 보기 (E).

45 - x = 36 → x = 45 - 36 = 9 → (E)

정답

직접 확인해 보자. 윤지가 9를 빠뜨리고 더했다면 합은 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36이고, 정말로 36 = 6 × 6 = 6²인 완전제곱수다. 그리고 범위 [36, 44] 안의 완전제곱수는 36 하나뿐이므로 답은 유일하다. 보기 (A)~(D)도 검산용으로 빠르게 확인할 수 있다: 5를 빼면 40, 6을 빼면 39, 7을 빼면 38, 8을 빼면 37 — 모두 완전제곱수가 아니다. 답 (E) 9가 맞다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 구구단(완전제곱수 6 × 6 = 36)만 알면 풀 수 있어요!

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