경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2024 · #4
학년 3 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
범위가 작다 — 빠뜨릴 수 있는 숫자는 9개뿐이고, 잘못된 합도 좁은 구간에 들어간다. 그러니 완전제곱수(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …)를 차례로 빠짐없이 나열(도구 #2)해서 가능한 범위 안에 들어오는 것을 찾으면 된다. 보기 (A)~(E)를 직접 대입해 보는 추측·확인(도구 #6)으로 검산할 수도 있다. 마지막으로 "잘못된 합 = 36"을 얻으면 45 - x = 36에서 x를 거꾸로 풀어낸다(도구 #11). 대수 방정식(도구 #13)까지 갈 필요는 전혀 없다.
짝지어 1부터 9까지 더하기
양 끝에서 짝지어 더하면 10이 네 번, 남은 5까지 합쳐 1부터 9까지 합은 45.
한 자리 수 아홉 개를 짝지어 더하는 일은 2학년의 100 이내 덧셈 능숙도로 충분하다.
2.NBT.B.5Make A Systematic List잘못된 합의 범위 잡기
x가 1부터 9까지이므로 잘못된 합 45 - x는 36 이상 44 이하이다.
100 이내의 한 단계 뺄셈으로 가능한 범위를 잡는 일은 2학년 응용 문제 수준이다.
2.OA.A.1Guess And Check범위 안 완전제곱수 찾기
제곱수 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 중 [36, 44]에 드는 것은 36뿐이라 잘못된 합은 36이다.
6 × 6 = 36 같은 한 자리 수의 곱셈 사실은 3학년의 100 이내 곱셈 자동화에서 다룬다.
잘못된 합은 36일 수밖에 없다.
▸ 왜?
잘못된 합은 완전제곱수인데, 그것이 가질 수 있는 모든 값 가운데 완전제곱수는 36뿐이다.
▸ 왜?
잘못된 합은 36과 44 사이에만 놓일 수 있는데, 전체 합 45에서 1부터 9까지의 수 가운데 하나를 뺀 값이기 때문이다.
▸ 왜?
1부터 9까지를 더하면 45인데, 1+9, 2+8, 3+7, 4+6으로 짝지으면 10이 네 개에 5가 남으며, 더하는 수의 순서를 바꾸거나 다시 묶어도 합은 변하지 않기 때문이다.
▸ 왜?
더하는 수들은 어떤 순서로 잡아도 된다.
▸ 왜?
더하는 수들은 더하기 전에 어떻게 묶어도 된다.
▸ 왜?
남은 합은 전체 45를 빼낸 수와 나머지로 가른 것이므로, 가장 작은 수 1을 빼면 44가 남고 가장 큰 수 9를 빼면 36이 남는다.
▸ 왜?
36부터 44까지의 구간 전체에서 완전제곱수는 36뿐인데, 6묶음의 6이 이미 36에 닿고 그다음 제곱수인 7묶음의 7은 곧장 49로 뛰어오르기 때문이다.
▸ 왜?
완전제곱수는 어떤 수를 그 수만큼의 같은 묶음으로 늘어놓은 것이므로, 6묶음의 6은 36을, 7묶음의 7은 49를 주며 그 사이에는 아무것도 없다.
거꾸로 빠뜨린 수 구하기
45 - x = 36을 거꾸로 풀면 x = 45 - 36 = 9, 윤지가 빠뜨린 수 — 보기 (E).
"45에서 무엇을 빼면 36이 되나?"라는 미지수 한 단계 뺄셈은 2학년의 100 이내 응용 문제와 같다.
2.OA.A.1Work Backwards이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 구구단(완전제곱수 6 × 6 = 36)만 알면 풀 수 있어요!
- 짝지어 1부터 9까지 더하기
- 잘못된 합의 범위 잡기
- 범위 안 완전제곱수 찾기
- 거꾸로 빠뜨린 수 구하기
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