경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2025 · #14
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
객관식 문제는 후보가 다섯 개뿐이라 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 출발입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "새 중앙값 구하기" 와 "새 평균 구하기" 두 단계로 나누면, 모든 보기가 N ≥ 7이라 새 중앙값이 항상 7로 고정된다는 사실이 보입니다. 그 다음은 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 보기를 평균 공식에 넣어 2 × 7 = 14가 되는 것만 남기면 끝이라, 굳이 대수를 꺼낼 필요가 없습니다.
수를 정렬하고 합 구하기
2, 6, 7, 7, 28은 이미 정렬돼 있고 합은 50 이라, 이 값을 나중에 평균 계산에 그대로 씁니다.
작은 자연수 다섯 개의 덧셈은 3학년 "1000 이내 덧셈·뺄셈을 능숙하게" 그대로이고, 합을 먼저 구해 두면 뒷 계산이 가벼워집니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems새 중앙값 구하기
모든 보기가 N ≥ 7이라 가운데 두 수는 7, 7로 고정되고 새 중앙값은 7 입니다.
N 이 어느 위치에 들어가도 가운데 두 수는 (7, 7)로 고정되므로, 가능성을 지워 보면 중앙값이 단일한 수로 정해집니다.
다섯 개의 후보 값 중 어느 것을 넣더라도, 새로운 여섯 개 수 목록의 중앙값은 7로 그대로 유지된다.
▸ 왜?
정렬한 여섯 수의 가운데 두 수가 모두 7이고, 짝수 개 목록의 중앙값은 가운데 두 수의 평균이므로, 중앙값은 7과 7의 평균이다.
▸ 왜?
7보다 작은 수는 2와 6뿐이므로, 넣는 값이 아무리 커도 — 모든 후보는 7 이상이다 — 가장 작은 네 수는 2, 6, 7, 7로 유지되어 셋째와 넷째 자리에 모두 7이 남는다.
▸ 왜?
수는 크기 순서대로 늘어서므로, 7보다 작은 두 수가 앞자리를 차지하고 7 이상인 값은 모두 그 뒤에 늘어서 셋째나 넷째 자리에 이르지 못한다.
▸ 왜?
가운데 두 7의 평균은 7이다: 두 7은 7의 두 묶음으로 14가 되고, 14의 절반은 7이다.
▸ 왜?
가운데 두 7이 더해져 14가 되는 것은 그것이 7의 같은 묶음 두 개이기 때문이다.
▸ 왜?
14를 반으로 나누면 7이 되는 것은 2로 나누는 것이 2를 곱하는 것을 되돌리기 때문이다.
필요한 평균 구하기
새 중앙값이 7 이니 새 평균은 2 × 7 = 14 여야 합니다.
"몇 배" 라는 표현을 곱셈으로 옮기는 것은 4학년 "곱셈식을 비교로 해석" 그 자체입니다.
4.OA.A.1Identify Subproblems평균 식 세우기
여섯 수의 합은 50 + N, 평균은 이므로 14로 두면 50 + N = 84 가 됩니다.
각 보기를 "합 ÷ 개수" 공식에 직접 넣어 보는 것은 6학년 "평균으로 자료 집합을 요약" 의 핵심 기술입니다.
6.SP.B.5Guess And Check새로 넣은 수 구하기
양변에서 50을 빼면 N = 34 이고, 보기 중 (E)만 평균을 정확히 14로 만듭니다.
여러 단계의 문장제 속 한 번의 뺄셈으로 결론을 내는 것은 4학년 "사칙연산 활용 다단계 문장제" 범위입니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균과 중앙값, 그리고 "중앙값이 7로 고정된다" 는 작은 관찰만 있으면 풀 수 있어요!
- 수를 정렬하고 합 구하기
- 새 중앙값 구하기
- 필요한 평균 구하기
- 평균 식 세우기
- 새로 넣은 수 구하기
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